6 zer na końcu liczby

[Januszgolenia]

Uzasadnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 25 zapisany w systemie dziesiątkowym kończy się sześcioma zerami.

[eresh]

Uzasadnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 25 zapisany w systemie dziesiątkowym kończy się sześcioma zerami.

\(1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot 25=\\
1\cdot 2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 2^3\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 2^2\cdot 3\cdot 13\cdot 2\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^4\cdot 17\cdot 2\cdot 9\cdot 19\cdot 2\cdot 10\cdot 21\cdot 2\cdot 11\cdot 23\cdot 2^3\cdot 3\cdot 5^2=\\=2^{20}\cdot 5^4\cdot 10^2\cdot k=10^4\cdot 10^2\cdot k\cdot 2^{16}=10^6\cdot m\)
liczba kończy się 6 zerami

[kerajs]

Ponieważ w 25! więcej jest czynników pierwszych równych 2 niż 5 to wystarczy zliczyć piątki aby znaleźć liczbę zer kończących rozwinięcie dziesiętne tego iloczynu.
\(\lfloor \frac{25}{5} \rfloor +\lfloor \frac{25}{25} \rfloor =5+1=6\)