Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta

[LudwikM]

Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta stała w wysokości 2 tyś zł miesięcznie z dołu, przy założeniu miesięcznej kapitalizacji zarówno raty jak i kapitału? Miesięczna stopa procentowa to 1%.

[grdv10]

Rachunek rent jest podobny do rachunku wkładów oszczędnościowych, które przypomniałem Ci przed chwilą w Twoim pierwszym temacie.

Kwota, która pozostała po \(n\) miesiącach to różnica przyszłej wartości kapitału rentowego \(40000\) i łącznej wartości już wypłaconych rat. Renta się skończy, jeśli ta różnica będzie ujemna. W praktyce któraś pozostałość będzie niższa niż wypłata \(2000\). Ostatnia wypłata będzie więc niższa.

Niech \(r=0{,}01\) oraz \(q=1+r=1{,}01.\)

Wartość kapitału rentowego po \(n\) miesiącach to \(40000q^n\)

Wartość sumy wypłat z dołu to \(2000\dfrac{1-q^n}{1-q}.\)

Pozostałość to wobec tego \(40000\cdot 1{,}01^n-2000\dfrac{1-1{,}01^n}{\color{red}{-}0{,}01}.\) Pytamy, dla jakiego \(n\) ta liczba jest ujemna (ściśle niedodatnia).

W \(23\)-cim miesiącu ta różnica jest ujemna, zaś w \(22\)-gim miesiącu ma wartość \(845{,}46\) i ostatnia, \(23\)-cia wypłata będzie mieć wartość \(845{,}46q=853{,}91.\)

[lolipop692]

Mam problem z podobnym zadaniem i stąd moje pytanie jak zostały wyliczone wartości 845,46?

[lolipop692]

Bardzo Proszę o wyjaśnienie

[Jerry]

Rozpatrzmy w liczbach naturalnych nierówność
\(40000\cdot 1,01^n-2000\cdot\frac{1-1,01^n}{-0,01}\ge0\)
Pomocniczo: niech
\(1,01^n=x\wedge x>0\)
wtedy
\(40000t-2000(100t-100)\ge0\ |\colon 20000\)
\(2t-10t+10\ge0\)
\(t\le 1,25\)
czyli
\(1,01^n\le1,25\)
ponieważ
\(1,01^{22}\approx1,2447\) oraz \(1,01^{23}\approx1,2572\)
to odpowiedź jak wyżej

Pozdrawiam

[lolipop692]

Dzięki czyli wartość 856,46 jest błędna?

[Jerry]

Dzięki czyli wartość 856,46 jest błędna?

Ja tego nie napisałem... Wyznaczyłem tylko inaczej \(22\) - ilość pełnych rat

Pozdrawiam