Wykaż, że prawdziwa jest nierówność - proszę o sprawdzenie

[kostek525]

Wykaż, że dla każdej liczby a i b \(\neq\) 0 prawdziwa jest nierówność \(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} \ge \frac{1}{3}\)

Zacząłem od dziedziny. \(a^2-ab+b^2 \neq 0\) a więc \(a^2+b^2 \neq ab\), Jedyną liczbą, która mogłaby spełniać \(a^2+b^2=ab\) jest 0, więc wykluczamy je z dziedziny.

\((a-b)^2>0 \wedge a,b \in R \bez \left\{0 \right\}\)
\(a^2-2ab+b^2>0\) więc \(a^2+b^2>2ab\)
zatem \(a^2+b^2>ab\)
\(a^2-ab+b^2>0\)

To mi pozwala wymnożyć na krzyż: \(3a^2+3ab+3b^2 \ge a^2-ab+b^2\)
\(a^2+2ab+b^2 \ge 0 \wedge a,b \neq 0\) cnd. ?

Czy moje rozumowanie, stąd i dowód, ma tutaj w ogóle sens?

[radagast]

Miałby sens gdybyś jeszcze wykazał, że \(a^2-ab+b^2>0\) (tylko w takim przypadku masz prawo "mnożyć na krzyż")

[kostek525]

Miałby sens gdybyś jeszcze wykazał, że \(a^2-ab+b^2>0\) (tylko w takim przypadku masz prawo "mnożyć na krzyż")

\((a-b)^2>0 \wedge a,b \in R \bez \left\{ 0\right\}\)
\(a^2-2ab+b^2>0\) więc \(a^2+b^2>2ab\)
zatem \(a^2+b^2>ab\)
\(a^2-ab+b^2>0\)
Teraz jest dobrze?

Dodając to do dowodu zaraz przed przemnożeniem na krzyż, dowód będzie 100% poprawny?

[Galen]

\(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} \ge \frac{1}{3}/ \cdot 3\)
\(\frac{3a^2+3ab+3b^2}{a^2-ab+b^2} \ge 1\\licznik \;\ge \;mianownik \\3a^2+3ab+3b^2 \ge a^2-ab+b^2\\2a^2+4ab+2b^2 \ge 0\\2a^2+4ab+2b^2 \ge 0\\2(a+b)^2 \ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to i wyjściowa też jest prawdziwa.

[radagast]

\(a^2-2ab+b^2>0\) więc \(a^2+b^2>2ab\)
zatem \(a^2+b^2>ab\)

To nieprawda . Przecież \(ab\) może być ujemne .
Ale oczywiście jest prawdą, że \(a^2+b^2>ab\). Tylko dowód powinieneś poprawić. Zachęcam, bo nie jest trudno.

[radagast]

\(\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} \ge \frac{1}{3}/ \cdot 3\)
\(\frac{3a^2+3ab+3b^2}{a^2-ab+b^2} \ge 1\\licznik \;\ge \;mianownik \\3a^2+3ab+3b^2 \ge a^2-ab+b^2\\2a^2+4ab+2b^2 \ge 0\\2a^2+4ab+2b^2 \ge 0\\2(a+b)^2 \ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to i wyjściowa też jest prawdziwa.

to nie jest poprawny dowód .
Również zakłada (bez dowodu), że \("mianownik ">0\)

[kostek525]

\(a^2-2ab+b^2>0\) więc \(a^2+b^2>2ab\)
zatem \(a^2+b^2>ab\)

To nieprawda . Przecież \(ab\) może być ujemne .
Ale oczywiście jest prawdą, że \(a^2+b^2>ab\). Tylko dowód powinieneś poprawić. Zachęcam, bo nie jest trudno.

A to nie jest tak, że jeśli ab jest liczbą mniejszą od zera, to suma kwadratów zawsze jest większa z tego tytułu iż zawsze jest nieujemna? Więc tak jakby biorę tylko pod uwagę możliwość, że ab jest dodatnie, a skoro wykazalem, że podwojony iloczyn liczby (dodatniej) jest mniejszy od lewej strony nierówności, to tym bardziej jeszcze mniejszy będzie niepodwojony iloczyn

[Galen]

Mianownik jest większy od zera.
\(a^2-ab+b^2>0\\a---zmienna\\b----parametr\\\Delta=(-b)^2-4b^2=-3b^2<0\)
Analogicznie będzie dla zmiennej b i parametru a.
\(\Delta<0\)
Ujemny wyróżnik \(\Delta\) wyklucza istnienie wartości niedodatnich,a zatem mianownik jest dodatni.

[radagast]

Nie przeczę. Ja tylko twierdzę, że to należy udowodnić (np tak, jak to jest zrobione w poprzednim poście ).

[kostek525]

No dobra Panowie, tylko mi chodzi o to żebyście sprawdzili mi mój tok myślenia w tym zadaniu, bo na takie uzasadnienie jak @Galon zapewne nie wpadłbym nigdy
Czy na maturce za taki dowód jaki obecnie jest w już zedytowanej postaci w pierwszym poście, ewentualnie dodając jeszcze, że nierówność \(a^2+b^2>ab\) jest spełniana przez ab zarówno ujemne (gdyż po lewej stronie suma kwadratów musi być >0 a po prawej stronie ab jest <0, więc logicznym jest, iż jest mniejsze) jak i dodatnie (skoro podwojony iloczyn liczby (dodatniej) jest mniejszy od lewej strony nierówności, to logicznym jest, iż ten sam, ale niepodwojony iloczyn musi być jeszcze mniejszy od lewej strony) - dostałbym full punktów?

[kostek525]

Nikt nie wie?

[panb]

Po takim uzupełnieniu, dostałbyś maxa czyli 2 punkty .