Dowody na podzielność liczb - jak się za to brać?

[kostek525]

Tak jak w tytule.

Są jakieś schematy jak się za to zabierać? np. "Wykaż, że jeśli n jest liczbą naturalną nieparzystą, to liczba \(\frac{n^3-n+n^6-n^4}{n^2-n+1}\) jest liczbą całkowitą podzielną przez 48"
Nie chodzi mi konkretnie o to zadanie, tylko o schemat działania w zadaniach tego typu. Z góry dzięki.

[Galen]

Możesz podzielić licznik przez mianownik (pisemnie),a potem podstawisz za n liczbę nieparzystą (2k+1) mnożysz,porządkujesz i wyłączasz wspólne czynniki,czyli rozkładasz na iloczyn 8*6.Czynnik 6 jest iloczynem trzech kolejnych liczb...
\(x= \frac{n^3-n+n^6-n^4}{n^2-n+1}= \frac {n^6+0n^5-n^4+n^3+0n^2-n+0}{n^2-n+1}=n^4+n^3-n^2-n=\\=n^3(n+1)-n(n+1)=(n^3-n)(n+1)=n(n^2-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+1)\)
Liczba n jest nieparzysta naturalna,czyli 3;5;7;9;...Oznaczasz \(n=2k+1\;\;\;\;i\;\;\;k\in N^+\)
\(x=(n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+1)=(2k+1-1)(2k+1)(2k+1+1)(2k+1+1)=\\=2k \cdot (2k+1) \cdot (2k+2) \cdot (2k+2)= 2^3[k(k+1)(k+1)(2k+1)]=\\=8 \cdot \;wielokrotność\;liczby\;6\)
W nawiasie kwadratowym jest iloczyn w którym co najmniej jeden z czynników jest parzysty,a obok jest wielokrotność liczby 3.Stąd wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wielokrotnością liczby 6.

Drugi sposób,to dowód indukcyjny.
Trzeba wykazać,że iloraz jest wielokrotnością liczby 48
\((n-1)n(n+1)^2=48\cdot t\;\;\;\;\;i\;\;\;\;t\in C\)
Sprawdzasz dla n=3,a potem dowodzisz że z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla kolejnej liczby nieparzystej (n+2).

[kostek525]

Możesz podzielić licznik przez mianownik (pisemnie),a potem podstawisz za n liczbę nieparzystą (2k+1) mnożysz,porządkujesz i wyłączasz wspólne czynniki,czyli rozkładasz na iloczyn 8*6.Czynnik 6 jest iloczynem trzech kolejnych liczb...
\(x= \frac{n^3-n+n^6-n^4}{n^2-n+1}= \frac {n^6+0n^5-n^4+n^3+0n^2-n+0}{n^2-n+1}=n^4+n^3-n^2-n=\\=n^3(n+1)-n(n+1)=(n^3-n)(n+1)=n(n^2-1)(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+1)\)
Liczba n jest nieparzysta naturalna,czyli 3;5;7;9;...Oznaczasz \(n=2k+1\;\;\;\;i\;\;\;k\in N^+\)
\(x=(n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+1)=(2k+1-1)(2k+1)(2k+1+1)(2k+1+1)=\\=2k \cdot (2k+1) \cdot (2k+2) \cdot (2k+2)= 2^3[k(k+1)(k+1)(2k+1)]=\\=8 \cdot \;wielokrotność\;liczby\;6\)
W nawiasie kwadratowym jest iloczyn w którym co najmniej jeden z czynników jest parzysty,a obok jest wielokrotność liczby 3.Stąd wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wielokrotnością liczby 6.

Drugi sposób,to dowód indukcyjny.
Trzeba wykazać,że iloraz jest wielokrotnością liczby 48
\((n-1)n(n+1)^2=48\cdot t\;\;\;\;\;i\;\;\;\;t\in C\)
Sprawdzasz dla n=3,a potem dowodzisz że z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla kolejnej liczby nieparzystej (n+2).

Kurcze, uświadomiłeś mi, że jeszcze sporo nauki przede mną... Żeby orientować się w tych zadaniach to trzeba jednak sporego ogarnięcia matematycznego, a takich zadanek wydaje mi się, że na maturze będzie coraz więcej. Już potrafię zauważyć jaki jest schemat działania, ale wciąż, przełożenie polecenia na odpowiednią "manipulację" wzorem wydaje mi się mega trudne, ale i tak dzięki za pomoc.