Włączanie sumy pod pierwiastek

[kostek525]

Witam

Mam takie wyrażenie :
\((\frac{1}{2}a+2) \sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }\) a pochodzi to stąd, że \(\frac{a+4}{2}*h\)
i \(h^2=16- (\frac{a-4}{2})^2\)
Muszę policzyć z tego pochodną, więc przydałoby się jakoś uprościć to wyrażenie, da radę np. włączyć to jakoś pod pierwiastek? Gdyby nie była to suma, a iloczyn to sprawa byłaby prosta, no ale wiadomo, że \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+ \sqrt{b}\)

[radagast]

\(\left(\frac{1}{2}a+2* \sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 } \right) '= \frac{1}{2} +2* \frac{- \frac{1}{2} a+2}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}= ...\)

[kostek525]

\(\left(\frac{1}{2}a+2* \sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 } \right) '= \frac{1}{2} +2* \frac{- \frac{1}{2} a+2}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}= ...\)

Pomyłka, tam będzie (1/2*a +2)* pierwiastek
wiec wzor na pochodna to bedzie wzor na iloczyn funkcji, mnostwo rachunkow i mozliwych bledow i wlasnie tego chcialem uniknac, jakos uproscic ten pierwiastek

[radagast]

\(\left( (\frac{1}{2}a+2) \sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }\right) '=\\
\frac{1}{2}\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }+(\frac{1}{2}a+2) \frac{ -\frac{1}{2}a+2}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{1}{2}\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }-(\frac{1}{2}a+2) \frac{\frac{1}{2}a-2}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{1}{2}\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }- \frac{\frac{1}{4}a^2-4}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{-\frac{1}{4}a^2+2a+12 -\frac{1}{4}a^2+4}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{-\frac{1}{2}a^2+2a+16}{2\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{a^2-4a-32}{-4\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}=\\
\frac{(a-8)(a+4)}{-4\sqrt{ -\frac{1}{4}a^2+2a+12 }}\\\)
Nie było tak strasznie .

[Galen]

Wprowadź pod pierwiastek,czyli podnosisz sumę do kwadratu...
\(( \frac{1}{2}a+2) \sqrt{- \frac{1}{4}a^2+2a+12 }= \sqrt{(( \frac{1}{2}a+2)^2 )( \frac{1}{4} \cdot (a+4)(12-a)) }=\\= \sqrt{( \frac{1}{4}a^2+2a+4) \cdot \frac{1}{4}(a+4)(12-a) }= \frac{1}{4} \sqrt{(a+4)^3(12-a)}\)

Krócej...
\([ \frac{1}{2}a+2]^2=[ \frac{1}{2}(a+4)]^2= \frac{1}{4}(a+4)^2\)
I taką postać wprowadzasz pod pierwiastek...

[kostek525]

dzieki za pomoc panowie