podzielność

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agusiaczarna22
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 271
Rejestracja: 05 lis 2013, 16:46
Podziękowania: 216 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy
Płeć:

podzielność

Post autor: agusiaczarna22 » 14 lis 2018, 14:19

Wykaż, że jeśli n jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba \(n^2-1\) jest podzielna przez 8. Proszę o wytłumaczenie.Jak zrobić to wprost i niewprost?

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1397
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 598 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 14 lis 2018, 14:33

\((2k+1)^2-1=(2k+1-1)(2k+1+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)\)
Wśród kolejnych liczb k i k+1 jedna jest parzysta.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 14 lis 2018, 14:39

Nie wiem o co ci chodzi z dowodem nie wprost. Założyć, że nie jest podzielna i dojść do wniosku, że n jest parzysta?
Pokrętne.


Oto dowód wprost
Założenie: \(n=2k+1, k\in \zz\)
Wtedy
  • \(n^2-1=(n-1)(n+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)\).
Wiadomo, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzystą, więc \(k(k+1)=2m, m\in \zz\).
Stąd
  • \(n^2-1=4 \cdot 2m=8m\) czyli \(8|(n^2-1)\)
c.n.d.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: podzielność

Post autor: Panko » 14 lis 2018, 18:43

W dowodzie nie wprost tu bazujemy na równoważności : \(\sim( p \So q) \iff p \wedge (\sim q)\)
Czyli z koniunkcji : ( \(n=2k+1, k \in Z\) \(\) ) i (\(8\) nie dzieli \(\) \(n^2-1\)) wyprowadzamy sprzeczność , co jest oczywiste jak popatrzysz na poprzednie posty.