Podzielność sumy sześcianów

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 316
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 185 razy
Płeć:

Podzielność sumy sześcianów

Post autor: poetaopole » 26 sie 2018, 08:42

Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to również suma ich sześcianów dzieli się przez 3. Można prosić bez kongurencji :)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1397
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 598 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 26 sie 2018, 09:09

1.
\((a+b+c)^3=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3\\
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a^2b+ab^2+(a+b)^2c+(a+b)c^2)\)


2.
\(c=3n-a-b\\
a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+(3n-a-b)^3=a^3+b^3+27n^3-3 \cdot 9n^2(a+b)+3 \cdot 3n(a+b)-(a+b)^3=\\
a^3+b^3+3(9n^3- 9n^2(a+b)+ 3n(a+b))-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=3(9n^3- 9n^2(a+b)+ 3n(a+b)-a^2b-ab^2)\)