Reszta z dzielenia przez 8

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1191
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1256 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Reszta z dzielenia przez 8

Post autor: Januszgolenia » 10 cze 2018, 06:16

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1397
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 598 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 10 cze 2018, 07:44

1)
a)
\((2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(2n+3)^2=16n^2+24n+14=8(2n^2+3n+1)+6\)
b)
\((2n+1)^2+(2n+2)^2+(2n+3)^2+(2n+4)^2=16n^2+40n+30=8(2n^2+5n+3)+6\)

2)
\(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=4n^2+12n+14=4(n+1)(n+2)+6=8N+6\)
bo wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych, będących czynnikami iloczynu, jedna jest parzysta, a wiec iloczyn jest podzielny przez 8.

3)
Można wykazać indukcyjnie że
\(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2=8N+6\)