Wykaż

[krysiaoz]

wykaż następujące nierówności:
1) \(a^2+b^2≥a+b-1\)
2) \(a^2+b^2+c^2+ \frac{3}{4} ≥a+b+c\)
3) \(a^2+b^2+ \frac{1}{a^2} + \frac{b}{a} ≥ \sqrt{3}\)

4)\(a^2+b^2+ab ≥0\)

dzieki z góry

[kerajs]

1)
\(a^2+b^2 \ge a+b-1\\
(a- \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} +(b- \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} \ge -1\\
(a- \frac{1}{2} )^2 +(b- \frac{1}{2} )^2 \ge -\frac{1}{2}\)

2)
\(a^2+b^2+c^2+ \frac{3}{4} \ge a+b+c\\
(a- \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} +(b- \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} +(c- \frac{1}{2} )^2- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \ge 0\\
(a- \frac{1}{2} )^2 +(b- \frac{1}{2} )^2 +(c- \frac{1}{2} )^2 \ge 0\)

3)
\(a^2+b^2+ \frac{1}{a^2} + \frac{b}{a} \ge \sqrt{3}\\
a^2+(b+ \frac{1}{2a}) ^2- \frac{1}{4a^2} + \frac{1}{a^2} \ge \sqrt{3}\\
a^2+(b+ \frac{1}{2a}) ^2+ \frac{3}{4a^2} \ge \sqrt{3}\\
(a- \frac{ \sqrt{3} }{2a}) ^2+ \sqrt{3} +(b+ \frac{1}{2a}) ^2 \ge \sqrt{3}\\
(a- \frac{ \sqrt{3} }{2a}) ^2 +(b+ \frac{1}{2a}) ^2 \ge 0\)

4)
\(a^2+b^2+ab \ge 0\\
\frac{1}{2}(a^2+b^2+(a+b)^2) \ge 0\)