zadania na dowodzenie (zakres rozszerzony)

[Niekumek]

Witajcie,
szukam pomocy w rozwiązaniu kilku zadań na dowodzenie:

1. Wiadomo, że liczby a, b są naturalne i a > b. Wykaż, że jeżeli zachodzi nierówność \(a \le 2 \sqrt{b(a-b)}\) to liczba a musi być liczbą parzystą.

2. Wiadomo, że liczby a i b są różne od zera i zachodzi nierówność: \(ab \ge ( \frac{ab+1}{2} )^2\). Wykaż, że liczby a i b są liczbami odwrotnymi.

3. Wiedząc, że zachodzi nierówność:\(2a(2a-3b) \le 3b(2a-3b)\) wyznacz wartość ilorazu \(\frac{a}{b}\).

4. Dla naturalnych liczb a,b zachodzi nierówność: \(2a^2+4c^2+9b^2=2a(c+3b)\). Wykaż, że wówczas liczba a jest podzielna przez 6.

5. Wykaż, że jeżeli zachodzi nierówność: \((a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)=0\) to a=b=c

6. Wiadomo, że liczby a i b są różne od zera i zachodzi równość: \(a^2+b^2+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}= \frac{2ac+2b^2}{bc}\)Wykaż, że wtedy a=c.

[kerajs]

1.
\(a^2 \le 4(ab-b^2)\\
(a-2b)^2 \le 0\\
a-2b=0\\
a=2b\)

2.
Analogicznie jak 1.

[radagast]

3. Wiedząc, że zachodzi nierówność:\(2a(2a-3b) \le 3b(2a-3b)\) wyznacz wartość ilorazu \(\frac{a}{b}\).

\(2a(2a-3b) \le 3b(2a-3b) \iff\)
\(2a(2a-3b) - 3b(2a-3b)\le 0 \iff\)
\((2a-3b) (2a-3b)\le 0 \iff\)
\((2a-3b)^2\le 0 \iff\)
\((2a-3b)^2= 0 \iff\)
\(2a=3b \iff\)
\(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\)

[radagast]

5. Wykaż, że jeżeli zachodzi nierówność: \((a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)=0\) to a=b=c

\((a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)=0 \iff\)
\(a^2-ac-ab+bc+b^2-bc-ab+ac+c^2-bc-ac+ab=0 \iff\)
\(a^2+b^2+c^2-bc-ab-ac=0 \iff\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ab-2ac=0 \iff\)
\(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0 \iff\)
\((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0 \iff\)
\(a-b=0,a-c=0,b-c=0 \iff\)
\(a=b=c\)

[Niekumek]

Bardzo Wam dziękuję ! Wszystko jasne !

[Niekumek]

Może macie jeszcze chociaż jakiś pomysł na zadanie 4 i 6. Bardzo proszę

[radagast]

4. Dla naturalnych liczb a,b zachodzi nierówność: \(2a^2+4c^2+9b^2=2a(c+3b)\). Wykaż, że wówczas liczba a jest podzielna przez 6.

.

\(2a^2+4c^2+9b^2=2a(c+3b) \iff\)
\(2a^2+4c^2+9b^2-2ac-6ab=0\iff\)
\(a^2-2ac+c^2+a^2-6ab+9b^2+3c^2=0\iff\)
\((a-c)^2+(a-3b)^2+3c^2=0 \iff\)
\(\begin{cases}a=c \\a=3b\\c=0\end{cases} \iff\)
\(a=b=c=0\)
A 0 dzieli się przez 6

[radagast]

6. Wiadomo, że liczby a i b są różne od zera i zachodzi równość: \(a^2+b^2+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}= \frac{2ac+2b^2}{bc}\)Wykaż, że wtedy a=c.

\(\frac{2ac+2b^2}{bc}=\frac{2ac}{bc}+\frac{2b^2}{bc}=\frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}\)


Zatem
\(a^2+b^2+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}= \frac{2ac+2b^2}{bc} \iff \\
a^2+b^2+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2} =\frac{2a}{b}+\frac{2b}{c} \iff \\
a^2-\frac{2a}{b}+ \frac{1}{b^2}+b^2-\frac{2b}{c}+ \frac{1}{c^2} =0 \iff \\
a^2-\frac{2a}{b}+ \frac{1}{b^2}+b^2-\frac{2b}{c}+ \frac{1}{c^2} =0 \iff \\
(a- \frac{1}{b})^2+(b- \frac{1}{c})^2=0 \iff \\
a= \frac{1}{b} \wedge b=\frac{1}{c}=0 \iff \\
ab=1 \wedge bc=1 \So ab=bc \So a=c\)
Zastanawiam się tylko po co jest założenie że \(a \neq 0\).
Ono rzeczywiście musi być różne od 0 skoro jest równe c, a c występuje w mianowniku. Zręczniej jednaj byłoby założyć, że b i c są różne od 0.

[Niekumek]

Bardzo dziękuję za pomoc!
Z tymi założeniami masz rację, ale z autorem zadania nie będę dyskutować .