DOWODY W ALGEBRZE

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mtworek98
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 167
Rejestracja: 24 lis 2015, 22:03
Podziękowania: 186 razy
Płeć:

DOWODY W ALGEBRZE

Post autor: mtworek98 »

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3})\).
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: DOWODY W ALGEBRZE

Post autor: radagast »

mtworek98 pisze:Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3})\).
\(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}\ge2(x^{3}+y^{3}) \iff x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}-2(x^{3}+y^{3}) \ge0\)
tymczasem:
\(x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}-2(x^{3}+y^{3}) =\\
x^{4}-2x^3+x^{2}+y^{4}-2y^{3}+y^{2}=\\
x^2 \left( x^{2}-2x+1\right) +y^2 \left( y^{2}-2y+1\right)=\\
x^2 \left( x-1\right)^2 +y^2 \left( y-1\right)^2 \ge 0\)
ODPOWIEDZ