DOWODY W ALGEBRZE

[mtworek98]

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(2x^{2}-6xy+11y^{2}\ge0\).

[radagast]

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi nierówność: \(2x^{2}-6xy+11y^{2}\ge0\).

\(2x^{2}-6xy+11y^{2}=2x^{2}-6xy+ \frac{9}{2} y^{2}+\frac{13}{2} y^{2}= \left( \left( \sqrt{2x} \right) ^2-2 \sqrt{2}x \cdot \frac{3}{ \sqrt{2} } y+ \left( \frac{3}{ \sqrt{2} } y\right) ^2 \right)+\frac{13}{2} y^{2}=\\
\left( \sqrt{2x} - \frac{3}{ \sqrt{2} } y\right)^2+ \frac{13}{2} y^{2} \ge 0\) jako suma kwadratów.

[mtworek98]

Nie da się tego obliczyć jakoś prościej?

[radagast]

Da się: \(2x^{2}-6xy+11y^{2}=2 \left( x^2-3xy+ \frac{9}{4}y^2 \right)+8y^2=2 \left( x^2-3xy+ \frac{9}{4}y^2 \right)+ \frac{35}{4} y^2=2 \left( x- \frac{3}{2}y \right) ^2+ \frac{13}{2} y^2\)

[beata1111]

Robiłam coś takiego, tylko inaczej rozbiłam poszczególne składniki
\(2x^2 - 6xy + 11y^2 = (x^2 - 6xy + 9y^2) + x^2 + 2y^2 = (x - 3y)^2 + x^2 + 2y^2\)
jest zawsze większe bądź równe zero jako suma kwadratów

[mtworek98]

Bardzo dziękuję za pomoc.