wykaż, że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: wykaż, że
Można elementarnie spróbować TAK
\(a+b+c=1\) \(\\) to \((4a+1) +(4b+1)+(4c+1)=7\)
oznaczmy dodatnie : \(x=4a+1,y=4b+1,z=4c+1\)
należy pokazać ,że jeżeli \(x+y+z=7\) i \(x,y,z>1\) to \(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le 5\)
uzasadnienie : \(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le 5\)
\(( \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} )^2<25\)
\((x+y+z ) +2 \cdot ( \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} )<25\)
\(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} <9\)
......................................................................
teraz oczywiste są nierówności : \(\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}\) ,\(\sqrt{yz} \le \frac{y+z}{2}\), \(\sqrt{zx} \le \frac{z+x}{2}\)
dodając je stronami jest : \(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} \le x+y+z=7<9\)
I widać ,że coś TU NIE GRA , oszacowanie z zadania jest bardzo słabe , ale jest nierównością nieostrą .
Czyli dla jakiego układu \(a,b,c\) z zadania miałoby osiągać \(5\) ?
..........................................................................................
Standardowo takie zadania robi się korzystając z nierówności Jensena .
Trzeba tu pokazać ,że funkcja \(f(x)= \sqrt{4x+1}\) jest wypukła w dół ( z użyciem pochodnej ) , a potem zastosować wzmiankowaną nierównść.
..........................................................................................
Chciałem też zrobić protezę z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej , bo \(4a+4b+4c=4\) ,
Gdyby wziąć prostokąt o wymiarach \(3\) na \(4\) to jego przekątna ma \(5\) i buduje się łamaną zaczepioną na końcach tej przekątnej ale nie widzę kontynuacji.
\(a+b+c=1\) \(\\) to \((4a+1) +(4b+1)+(4c+1)=7\)
oznaczmy dodatnie : \(x=4a+1,y=4b+1,z=4c+1\)
należy pokazać ,że jeżeli \(x+y+z=7\) i \(x,y,z>1\) to \(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le 5\)
uzasadnienie : \(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \le 5\)
\(( \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} )^2<25\)
\((x+y+z ) +2 \cdot ( \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} )<25\)
\(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} <9\)
......................................................................
teraz oczywiste są nierówności : \(\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}\) ,\(\sqrt{yz} \le \frac{y+z}{2}\), \(\sqrt{zx} \le \frac{z+x}{2}\)
dodając je stronami jest : \(\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} \le x+y+z=7<9\)
I widać ,że coś TU NIE GRA , oszacowanie z zadania jest bardzo słabe , ale jest nierównością nieostrą .
Czyli dla jakiego układu \(a,b,c\) z zadania miałoby osiągać \(5\) ?
..........................................................................................
Standardowo takie zadania robi się korzystając z nierówności Jensena .
Trzeba tu pokazać ,że funkcja \(f(x)= \sqrt{4x+1}\) jest wypukła w dół ( z użyciem pochodnej ) , a potem zastosować wzmiankowaną nierównść.
..........................................................................................
Chciałem też zrobić protezę z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej , bo \(4a+4b+4c=4\) ,
Gdyby wziąć prostokąt o wymiarach \(3\) na \(4\) to jego przekątna ma \(5\) i buduje się łamaną zaczepioną na końcach tej przekątnej ale nie widzę kontynuacji.