Wykaż, że dla każdego naturalnego n liczba \(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Możliwie bez kongurencji (patrz adresat zadania). UWAGA! W wydaniu PAZDRO 2012 r. zadanie to wydrukowano z błędem merytorycznym. Obecnie zostało one zmodyfikowane, przez co jego dowód stał się, zdaje się, niebanalny. Chyba że ktoś mnie przekona, że jest... banalny dla ucznia klasy I szkoły średniej.
Podzielność potęg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Podzielność potęg
próbowałeś indukcyjnie ? Spróbuj. Idzie gładkopoetaopole pisze:Wykaż, że dla każdego naturalnego n liczba \(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Możliwie bez kongurencji (patrz adresat zadania). UWAGA! W wydaniu PAZDRO 2012 r. zadanie to wydrukowano z błędem merytorycznym. Obecnie zostało one zmodyfikowane, przez co jego dowód stał się, zdaje się, niebanalny. Chyba że ktoś mnie przekona, że jest... banalny dla ucznia klasy I szkoły średniej.
-
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Podzielność potęg
No to trzeba poprzekształcać:
\(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}=\\
7^{n+2} + 7^{n+1}-2 ^{n+2}- 2^{n+1}=\\
7^{n} \left( 49+7)\right) -2 ^{n} \left(4+2 \right) =\\
56 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} =\\
6 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7^{n} - 2 ^{n}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7-2\right) \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
30 \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} \\\)
oba składniki dzielą się przez 10...
\(7^{n+2} -2 ^{n+2}+ 7^{n+1}- 2^{n+1}=\\
7^{n+2} + 7^{n+1}-2 ^{n+2}- 2^{n+1}=\\
7^{n} \left( 49+7)\right) -2 ^{n} \left(4+2 \right) =\\
56 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} =\\
6 \cdot 7^{n} -6 \cdot 2 ^{n} +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7^{n} - 2 ^{n}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
6 \left( 7-2\right) \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} =\\
30 \left( 7^{n-1} +7^{n-2} \cdot 2+... + 2 ^{n-1}\right) +50\cdot 7^{n} \\\)
oba składniki dzielą się przez 10...