Wiedząc że...oblicz

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Klusiek2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 78
Rejestracja: 26 lis 2015, 18:51
Podziękowania: 69 razy
Płeć:

Wiedząc że...oblicz

Post autor: Klusiek2 »

1)\(\log_2 3=a, \log_3 5=b, oblicz \log_27 200\)
w ostatnim przy podstawie jest 27
2)\(\log_3 2=a\),oblicz \(\log_2 13,5\)
3)\(\log_3 7=a,\) oblicz\(\log_7 5 \frac{4}{9}\)
4)\(\log_3 2=a\) oblicz\(\log_6 16\)
5)\(\log _{21} 3=a\;\;\;i\;\;\log _{21} 5=b\) oblicz \(\log_7 1125\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

1)
\(7200=25 \cdot 9 \cdot 32=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^5\)
\(log_23=a\\log_35=b\;\; \So \;\;\frac{log_25}{log_23}=b\;czyli\; \frac{log_25}{a}=b\\log_25=ab\)
\(log_27200=log_2(5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^5)=log_25^2+log_23^2+log_22^5=\\
=2log_25+2log_23+5log_22=2ab+2a+5\)


Teraz widzę,że chcesz mieć podstawę 27 czyli 3do3
\(log_23=a\;\; \iff \;\; \frac{log_33}{log_32}=a\;\;\; \So \;\; \frac{1}{log_32}=a\\log_32= \frac{1}{a}\\log_35=b\\log_{27}200=log_{27}8 \cdot 25= \frac{log_3(8 \cdot 25)}{log_327}= \frac{log_32^3+log_35^2}{3}=\\= \frac{3log_32+2log_35}{3}= \frac{ \frac{3}{a}+2b }{3}= \frac{1}{a}+ \frac{2}{3}b\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Binio1
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 464
Rejestracja: 19 paź 2015, 00:31
Lokalizacja: Zbąszyń
Otrzymane podziękowania: 279 razy
Płeć:

Re: Wiedząc że...oblicz

Post autor: Binio1 »

Klusiek2 pisze:\(\log_2 3=a, \log_3 5=b, oblicz \log_27 200\)
w ostatnim przy podstawie jest 27
\(\log_{27} 200 = \log_{27} 8 + \log_{27} 25 = \log_{27}2^3 + \frac{1}{\log_{25}27} =\)
\(\log_{3} 2 + \frac{1}{\log_{25} 9 + \log_{25}3} = \log_{3} 2 + \frac{1}{\log_{25} 3^2 + \frac{1}{\log_{3}25}} =\)
\(= \frac{1}{\log_2 3} + \frac{1}{\frac{1}{\log_5 3} + \frac{1}{\log_3 5 + \log_{3}5}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{b + b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{\frac{2}{2b} + \frac{1}{2b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{\frac{3}{2b}} = \frac{1}{a} + \frac{2b}{3} =\)
\(\frac{3}{3a} + \frac{2ba}{3a} = \frac{3+2ab}{3a}\)
Binio1
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 464
Rejestracja: 19 paź 2015, 00:31
Lokalizacja: Zbąszyń
Otrzymane podziękowania: 279 razy
Płeć:

Re: Wiedząc że...oblicz

Post autor: Binio1 »

Klusiek2 pisze: \(\log_3 7=a,\) oblicz\(\log_7 5 \frac{4}{9}\)
\(\log_{7} \frac{49}{9} = \log_{7} 49 - \log_{7} 9 = 2 - \log_{7}3 - \log_{7}3 = 2 - \frac{1}{a} - \frac{1}{a} =\)
\(= 2 - \frac{2}{a} = \frac{2a-2}{a}\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

2)
\(log_32=a\;\;\;to\;\; \frac{log_22}{log_23}=a\;\;czyli\;\;a= \frac{1}{log_23}\\ostatecznie\\log_23= \frac{1}{a}\\log_213,5=log_2 \frac{27}{2}= log_227-log_22=log_23^3-1=3log_23-1= \frac{3}{a}-1= \frac{3-a}{a}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Binio1
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 464
Rejestracja: 19 paź 2015, 00:31
Lokalizacja: Zbąszyń
Otrzymane podziękowania: 279 razy
Płeć:

Re: Wiedząc że...oblicz

Post autor: Binio1 »

Klusiek2 pisze: 4)\(\log_3 2=a\) oblicz\(\log_6 16\)
\(\log_6 16 = \frac{\log_{3}16}{\log_{3}6} = \frac{\log_{3} 2 + \log_{3} 2 + \log_{3} 2 + \log_{3}2}{\log_{3} 2 + \log_{3}3} = \frac{4a}{a+1}\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

4)
\(log_32=a\\ \frac{log_22}{log_23}=a\\ \frac{1}{log_23}=a\;\;\;\;stąd\;\;\;\;\;log_24= \frac{1}{a}\\
log_616= \frac{log_216}{log_26}= \frac{4}{log_2(2 \cdot 3)}= \frac{4}{log_22+log_23}= \frac{4}{1+ \frac{1}{a} }= \frac{4a}{a+1}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
michal486
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re: Wiedząc że...oblicz

Post autor: michal486 »

Klusiek2 pisze: 3)\(\log_3 7=a,\) oblicz\(\log_7 5 \frac{4}{9}\)
3)
\(log_7 5 \frac{4}{9} = log_7 \frac{49}{9} = log_7 49 - log_7 9 = 2 - log_79 = 2 - log_7 3^2 = 2 - 2 \cdot log_73\)
Wiemy, że \(log_37 = a\), zatem \(log_73 = \frac{1}{a}\) - wynika to ze zamiany podstawy logarytmu.
\(2 - 2 \cdot log_73 = 2 - 2 \cdot \frac{1}{a} = 2 - \frac{2}{a}\)
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

5)
\(log_{21}3=a\\ \frac{log_33}{log_321}=a\\ \frac{1}{log_33+log_37}=a\\ \frac{1}{1+log_37}=a\\1+log_37= \frac{1}{a}\\log_37= \frac{1}{a}-1\\log_37= \frac{1-a}{a}\)
\(log_{21}5=b\\ \frac{log_35}{log_321}=b\\ \frac{log_35}{log_33+log_37}=b\\ \frac{log_35}{1+log_37}=b\)
\(log_35=b(1+log_37)=b(1+ \frac{1-a}{a})=b( \frac{a+1-a}{a}= \frac{b}{a}\)
\(log_71125= \frac{log_39\cdot 125}{log_37}= \frac{log_39+log_35^3}{log_37}= \frac{2+3log_35}{log_37}=\\
= \frac{2+ \frac{3b}{a} }{ \frac{1-a}{a} }= \frac{2a+3b}{1-a}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ