logarytmy - szk. średnia

[Mi82]

Proszę pomóżcie w rozwiązaniu tych dwóch zadań:

zad.1. wiedząc że \(\log_3 15=a\) oraz \(\log_3 20=b\) oblicz \(\log_2 720\)
zad.2.oblicz \(\log_{2\sqrt{2}} \frac{2 \sqrt[5]{64} }{ \sqrt{8} }\)

[eresh]

Proszę pomóżcie w rozwiązaniu tych dwóch zadań:

zad.2.oblicz \(\log_{2\sqrt{2}} \frac{2 \sqrt[5]{64} }{ \sqrt{8} }\)

\(\log_{2\sqrt{2}}\frac{2\cdot 64^{\frac{1}{5}}}{2\sqrt{2}}=\log_{2\sqrt{2}}\frac{2^{\frac{6}{5}}}{2^{\frac{1}{2}}}=\log_{2\sqrt{2}}2^{0,7}=0,7\cdot\frac{\log_22}{\log_22\sqrt{2}}=0,7\cdot\frac{1}{1,5}=\frac{7}{15}\)

[eresh]

Proszę pomóżcie w rozwiązaniu tych dwóch zadań:

zad.1. wiedząc że \(\log_3 15=a\) oraz \(\log_3 20=b\) oblicz \(\log_2 720\)

\(\log_315=a\\
\log_33+\log_35=a\\
1+\log_35=a\\
\log_35=a-1\)


\(\log_320=\log_32^2+\log_35=b\\
2\log_32+\log_35=b\\
2\log_32+a-1=b\\
\log_32=\frac{b-a+1}{2}\)


\(\log_2720=\log_2(12^2\cdot 5)=2\log_2(4\cdot 3)+\log_25=4+2\log_23+\log_25=4+\frac{2}{\log_32}+\frac{\log_35}{\log_32}=\\
=4+\frac{2+a-1}{\frac{b-a+1}{2}}=4+\frac{2+2a}{b-a+1}\)

[lambda]

zad.2.oblicz \(\log_{2\sqrt{2}} \frac{2 \sqrt[5]{64} }{ \sqrt{8} }\)

\((2 \sqrt{2})^x= \frac{2 \cdot 64^ \frac{1}{5} }{8^ \frac{1}{2} }\)
\((2 \cdot 2^ \frac{1}{2})^x= \frac{2 \cdot (2^6)^ \frac{1}{5} }{(2^3)^ \frac{1}{2} }\)
\(2^ { \frac{3}{2}x} = \frac{2 \cdot2^ \frac{6}{5} }{2^ \frac{3}{2} }\)
\(2^{ \frac{3}{2}x} =2^ \frac{11}{5} \cdot 2^{- \frac{3}{2}}\)
\(2^{ \frac{3}{2}x}=2^ \frac{7}{10}\)
\(\frac{3}{2} x= \frac{7}{10}\)
\(x= \frac{7}{15}\)

[Galen]

1)
\(log_2720=log_2(16 \cdot 9 \cdot 5)=log_216+log_29+log_25=4+log_23^2+log_25=4+2log_23+log_25\)
Przekształć dane tak,by uzyskać wzory na potrzebne składniki,
\(log_315=log_33+log_35=1+log_35=a\\log_35=a-1\)
\(log_320=log_34+log_35=log_34+(a-1)=b\\log_34=b-a+1\)
Masz wzory na log o podstawie 3,potrzebujesz o podstawie 2,więc stosujesz wzór na zmianę podstaw log.
\(log_35= \frac{log_25}{log_23}=a-1\;\;to\;\;\;log_25=(a-1)log_23\\log_34= \frac{log_24}{log_23}=b-a+1\;\;\;to\;\;\;log_23= \frac{2}{b-a+1}\)
Wstaw ostatni wzór do poprzedniego:
\(log_25=(a-1) \cdot \frac{2}{b-a+1} = \frac{2a-2}{b-a+1}\)
Uzyskane wzory wstaw do obliczenia:
\(log_2720=4+2 \cdot \frac{2}{b-a+1}+ \frac{2a-2}{b-a+1}=4+ \frac{4+2a-2}{b-a+1}= \frac{2a+2}{b-a+1}+4\)

[Mi82]

Bardzo Wam dziękuję !