Dowody algebra

[matematyka87]

Rozwiąż zadania dwoma metodami dowodząc wprost i nie wprost.

1. Udowodnij że jeżeli przy dzieleniu przez 3 jedna liczba daje resztę 1 a druga resztę 2 to ich iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

2. Wykaż, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych nie może być liczba pierwszą.

3. Wykaż, że jeśli liczba naturalna x z dzielenia przez 8 daje resztę 4 i liczba naturalna y z dzielenia przez 8 daje resztę 5, to iloczyn x+y z dzielenia przez 8 daje resztę 1.

4. Wykaż, że suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą.

[Galen]

1)
\(a=3n+1\\b=3k+2\\a \cdot b=(3n+1)(3k+2)=9kn+6n+3k+2=3(3kn+2n+k)+2\)
Otrzymujesz wielokrotność liczby 3 plus reszta r=2
2)
\(n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10=5(n+2)\)
Suma ta da się przedstawić jako iloczyn liczby 5 i (n=2), a to oznacza że ma dzielnik różny od 1 i od samej siebie.

[Galen]

W zadaniu 3 masz sumę ,a nie iloczyn.
3)
\(x=8n+4\\y=8k+5\\x+y=8n+4+8k+5=8n+8k+9=8(n+k+1)+1\)
Otrzymujesz wielokrotność liczby 8 i reszta r=1
4)
\(n+n+1+n+2+n+3=4n+6=2(2n+3)\)
Otrzymana suma ma dzielniki 2 i (2n+3),nie tylko 1 i samą siebie,czyli jest to liczba złożona.

[matematyka87]

A met. nie wprost, macie jakieś pomysły?