Zadania maturalne.

[Artegor]

1.Udowodnij, że jeśli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \(a+b=1\), to \(ab \le \frac{1}{4}\)

2.Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \(k(k+1)(k+9)(k^2+1)\) jest podzielna przez 5.

3.Wykaż, że dla dowolnej liczby \(x \in R \bez {0}\) zachodzi nierówność \(\frac{9x^4+1}{x^2} \ge 6\)

4.Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(k\) liczba \(k(k^3+k^2)(k^2+3k+2)(k+2)\) jest podzielna przez 36.

5.Rozwiąż nierówność \(\frac{|x- \sqrt{3}| }{ \sqrt{3}-x }+ \sqrt[7]{625*(-125)} \ge x+5\)

[Binio1]

1.Udowodnij, że jeśli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \(a+b=1\), to \(ab \le \frac{1}{4}\)

\(a+b = 1\)
\(a = 1 - b\)

Podstawiamy:
\((1-b)b \le \frac{1}{4}\)
\(-b^{2}+b-\frac{1}{4} \le 0\)
\(\Delta = 1-1 = 0\)

Ramiona paraboli skerowane do dolu i jedno miejsce zerowe czyli nierwonosc zawsze spelniona
Zmienna \(b\) zawsze jest wieksza od zera czyli nie nastapi zmiana znaku przy wspolczynniku kierunkowym zawsze bedzie ujemny

[Binio1]

5.Rozwiąż nierówność \(\frac{|x- \sqrt{3}| }{ \sqrt{3}-x }+ \sqrt[7]{625*(-125)} \ge x+5\)

Dziedzina:
\(D_{f} \in\rr \setminus\left\{\sqrt{3}\right\}\)

\(\frac{|x-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}-x} -5 \ge x+5\)
\(\frac{|x-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}-x} \ge x+10\)

\(x - \sqrt{3} = 0\)
\(x = \sqrt{3}\)

Sprawdzamy w przedzialach:
1. \((-\infty; 3)\)
2. \([3; \infty)\)

1.

\(\frac{-x+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-x} \ge x+10\)
\(1 \ge x + 10\)
\(x \le -9\)
Uwzgledniajac sprawdzany przedzial: \(x\in (-\infty ; -9]\)
2.

\(\frac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-x} \ge x+10\)
\(\frac{-x+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-x} \le -x-10\)
\(1 \le -x -10\)
\(x \le -11\)
Uwzgledniajac sprawdzany przedzial: \(x\in \emptyset\)

Odpowiedź: \(x\in (-\infty; -9]\)

[Binio1]

3.Wykaż, że dla dowolnej liczby \(x \in R \bez {0}\) zachodzi nierówność \(\frac{9x^4+1}{x^2} \ge 6\)

Mnozymy przez \(x^{2}\) co jest zawsze dodatnie i nie musimy martwic sie o zmiane znaku rownosci
\(9x^{4} - 6x^{2}+1 \ge 0\)
\((3x^{2}-1)^{2} \ge 0\)
Kwadrat jakiejkolwiek liczby musi byc albo dodatni albo rowny 0