Dowody

[Artegor]

1.Wykaż, że nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.
a)\(x(x+12) \ge 9(2x-1)\)
b)\(\frac{4}{x^2+1} \ge 3-x^2\)

2.Wykaż, że dla dowolnych licz rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

a)\(a^2+ab+b^2 \ge 0\)
b)\(a^2+b^2 \ge 4(a+b-2)\)

3.Wykaż, że a+b=-2, jeżeli:
\(a= \frac{1}{1+ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} }+ \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{4} }+ \frac{1}{ \sqrt{4} + \sqrt{5} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{99} + \sqrt{100} },\)
\(b= \frac{1}{1- \sqrt{2} } - \frac{1}{ \sqrt{2} - \sqrt{3} }+ \frac{1}{ \sqrt{3}- \sqrt{4} } - \frac{1}{ \sqrt{4} - \sqrt{5} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{99}- \sqrt{100} }.\)

[Binio1]

1.Wykaż, że nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.
a)\(x(x+12) \ge 9(2x-1)\)

\(x^{2}+12x \ge 18x - 9\)
\(x^{2}-6x+9\ge 0\)
\(\Delta = 36 - 36 = 0\)
Wspolczynnik kieronkowy jest dodatni czyli ramiona paraboli skierowane sa ku gorze. Delta rowna zero czyli nierownosc posiada tylko jedno miejsce zerowe. Wiec nie posiada wartosci ujemnych zawsze bedzie \(\ge 0\)

[Galen]

Zad.1
a)
\(x(x+12)\ge 9(2x-1)\\x^2+12x-18x+9\ge 0\\x^2-6x+9\ge 0\\po\;lewej\;stronie\;jest\;druga\;potęga\\
(x-3)^2\ge 0\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa,to i pierwsza (równoważna) też jest prawdziwa.
b)
\(\frac{4}{x^2+1}\ge 3-x^2\;/\cdot (x^2+1)\\
4\ge (3-x^2)(x^2+1) \\4\ge 3x^2+3-x^4-x^2\\x^4-2x^2+1\ge 0\\(x^2+1)^2\ge 0\)
Kwadrat ma wartości nieujemne,stąd ostatnia nierówność jest prawdziwa,zatem pierwsza jako równoważna
też jest prawdziwa.

[Galen]

Zad.2
b)
\(a^2+b^2\ge 4(a+b-2)\\a^2+b^2\ge 4a+4b-8\\a^2-4a+4+b^2-4b+4\ge 0\\(a-2)^2+(b-2)^2\ge 0\)
Suma kwadratów dwóch wyrażeń nieujemnych jest nieujemna.

a)
dodaj do obu stron ab
\(a^2+2ab+b^2\ge ab\\(a+b)^2\ge ab\)
Otrzymujesz nierówność prawdziwą,równoważną wyjściowej nierówności.

Drugi sposób,to potraktowanie lewej strony jako funkcji argumentu a i policzenie wyróżnika delta.
\(f(a)=a^2+b\cdot a+b^2\\\Delta=b^2-4b^2=-3b^2\\\Delta\le0\\stąd \;wniosek,\;że \\
f(a)\ge 0\\czyli\\a^2+ab+b^2\ge 0\)

[Binio1]

1.Wykaż, że nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.
b)\(\frac{4}{x^2+1} \ge 3-x^2\)

\(4 \ge 3x^{2}+3-x^{4}-x^{2}\)
\(-x^{4} + 2x^{2}-1 \le 0\)

Szukajac w dzielnikach wyrazu wolnego wiemy ze pierwiastkiem wielomianu jest \(x=1\) lub \(x = -1\)
Dzielimy wielomian przez \((x-1)\) i otrzymujemy

\((-x^{3}-x^{2}+x+1)(x-1) \le 0\)
\((-x^{2}(x+1)+1(x+1))(x-1)\le 0\)
\(((-x^{2}+1)(x+1))(x-1) \le 0\)

Mamy podwojny pierwiastek rowny \(-1\) i podwojny pierwiastek rowny \(1\)
Wyraz przy najwiekszej potedze jest ujemny czyli wykres rysujemy zaczynajac od liczb ujemnych i w miejscach pierwiastka wielomianu odbijamy go z powrotem na minus poniewaz sa podwojne. Tak wiec wszystkie rozwiazania nierownosci beda ujemne czyli \(\le 0\)
a dwie beda rowne zero

[LadyKier]

W 2. a) delta jest ujemna, współczynnik kierunkowy dodatni, więc wszystkie liczby będą należały do zbioru rozwiązań.

(parabola nad OX, ramiona ku górze, brak miejsc zerowych- znak nierówności "większe bądź równe")

[LadyKier]

Ad. 2. a) trzeba jeszcze chyba dopisać, że dla a=0 i b=0 (kiedy nie ma równania kwadratowego), nierówność jest też zawsze spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych

[Galen]

Zad.3
Uwolnij poszczególne składniki od liczb niewymiernych w mianowniku.
Dostaniesz we wszystkich składnikach mianownik (-1).
Składniki się zredukują i obliczysz wartość a oraz b.
Dodasz je i otrzymasz (-2)

Przykład zamiany składnika na postać bez niewymiernej w mianowniku:
\(\frac{1}{1+ \sqrt{2} }= \frac{1- \sqrt{2} }{(1+ \sqrt{2} )(1- \sqrt{2} )}= \frac{1- \sqrt{2} }{1-2}= \frac{1- \sqrt{2} }{-1}\)
Wszystkie ułamki będą mieć w mianowniku (-1)...

[Artegor]

A w tym zadaniu 3 wystarczy rozważyć jeden przypadek, czy jakoś trzeba wykonać dla n?

\(\frac{1}{ \sqrt{n}+ \sqrt{n+1} }\)

[Galen]

Zapisz każdy składnik wpisany w zadaniu.Wtedy zobaczysz jak się ładnie redukują pierwiastki.

\(a= \frac{1- \sqrt{2}+ \sqrt{2}- \sqrt{3}+ \sqrt{3}- \sqrt{4}+ \sqrt{4}- \sqrt{5}+...+ \sqrt{99}- \sqrt{100} }{-1}= \frac{1- \sqrt{100} }{-1}= \frac{-9}{-1}=9\)
b=-11
To liczysz analogicznie.