forum.zadania.info

Poniżej przedstawiona jest tablica liczb \((n \in N_+)\), zwana tablicą Pitagorasa
1 2 3 4 . . . n
2 4 6 8 . . . 2n
3 6 9 12 . . . 3n
4 8 12 16 . . . 4n
. . . . .
. . . . .
. . . . .
n 2n 3n 4n n*n
Udowodnij, że suma wszystkich liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej.

\(S1 = 1 + 2 + 3 + ... n
S2 = 2 + 4 + 6 + ... 2n = 2 * S1
S1 + 2 S1 + ... n * S1 = S1 * ( 1 + 2 + 3 .. + n ) = (S1)^2\)
i tyle xd.

Mozna tez taK:
\(1+2+..+n=0.5(n+1)n
2+4+...+2n=0.5(2n+2)n
n+2n+...+n^2=0.5(2n+n^2)n
0.5(n+1)n+0.5n(2n+2)+...+0.5(2n+n^2)n=0.5n \left[ 1+n+2+2n+...+n^2+2n\right]=0.5n \left[ 1+2+..+n+n+2n+..+n^2\right] =
0.5n \left[ 0.5(n+1)n+n(1+2+..+n)\right]=\)
\(=0.5n[ 0.5(n+1)n+n0.5n(n+1) \right]=0.5n \left[ 0.5(n+1)(n+1)\right]= \left[ 0.5n(n+1)\right] ^2
0.5n(n+1)\in N\)
pomiewaz jak mamy 2 kolejne liczby tojedna z nivh jest parzysta

Policz sumy w poszczególnych wierszach tablicy:
\(W_1=\frac{1+n}{2}\cdot n\\
W_2=\frac{2+2n}{2}\cdot n\\
W_3=\frac{3+3n}{2}\cdot n\\
W_4=\frac{4+4n}{2}\cdot n\\
.....................\\
W_n=\frac{n+n^2}{2}\cdot n\)
Sumujesz wszystkie wiersze:
\(S=W-1+W_2+W_3+W_4+...+W_n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot [(n+1)+2(n+1)+3(n+1)+4(n+1)+...+n(n+1)]=\\
=\frac{1}{2}n\cdot (n+1)[1+2+3+4+...+n]=\frac{1}{2}n(n+1)(\frac{1+n}{2}\cdot n)=\frac{1}{4}n(n+1)\cdot n\cdot (n+1)=\\
=(\frac{1}{2}n(n+1))^2\)
Jest to więc kwadrat liczby naturalnej.Zauważ ,że \(n(n+1)\) na pewno dzieli się przez 2,bo są to dwie
kolejne liczby naturalne.