Zabawy na liczbach

[szymon65]

1.Oblicz:

\(49 999 989^2-50 000 011^2\)

2.Udowodnij:

Czy liczba naturalna w zapisie, której jest 300 jedynek i pewna ilość zer może być kwadratem liczby naturalnej?

3.Zbadaj:

Czy istnieje liczba naturalna n, taka ze w zapisie dziesietnym liczby \(2^n\) wystepuje 1000zer, 1000jedynek, 1000dwojek, ..., wreszcie 1000dziewiatek?

4.Wykaz:

\(2222^{5555}+5555^{2222}\) jest podzielne przez \(7\)

Jakies pomysly?

[alexx17]

2. Taka liczba jest podzielna przez 3, ale nie przez 9. Dlatego nie może być kwadratem.

[szymon65]

Mozesz dokladniej?

[alexx17]

Załóżmy liczba 111 dzieli się przez 3. \(111:3=37\). Ale przez 9 już nie, więc nie może być kwadratem liczby naturalnej. Popraw to 4

[radagast]

1.
\(49 999 989^2-50 000 011^2=(49 999 989+50 000 011)(49 999 989-50 000 011)=\\-10^8 \cdot22=2200000000\)

[szymon65]

w 4 to jest do (5555)potegi i (2222)potegi tylko nie wiem jak to zapisac.. ;/

ale z tym przykladem alex to dalej nie rozumiem

[alexx17]

Potęgę podaj w nawiasie klamrowym.

2222^{5555}+5555^{2222} \(\to\) \(2222^{5555}+5555^{2222}\)

Tak jak pisałem wyżej. Ta liczba jest podzielna przez 3. Żeby była kwadratem liczby naturalnej musiałaby być podzielna zarówno przez 3 jak i 9.

[Murarz]

Co do 4. Jak liczba \(2222^{5555}+ 5555^{2222}\) dzieli się przez 7 to tak samo liczba 2222+ 5555 dzieli się. A z tego drugiego wynik to 7777. Zatem liczba dzieli się przez 7

[Galen]

1)
\((5 \cdot 10^7-11)^2-(5 \cdot 10^7+11)^2=(5 \cdot 10^7-11-5 \cdot 10^7-11)(5 \cdot 10^7-11+5 \cdot 10^7+11)=\\
=-22(2 \cdot 5 \cdot 10^7)=-22 \cdot 10^8=-2200000000\)

[szymon65]

Dzieki wszystkim. Jakies pomysly jeszcze do 3???

[radagast]

3.
Oczywiście , ze nie istnieje.
Jedyną liczbą pierwszą, przez którą dzieli sie \(2^n\) jest 2, a opisana liczba dzieli się przez 3
(bo suma cyfr dzieli sie przez 3 (\(1+2+...+9=45\)))

[irena]

Co do 4. Jak liczba \(2222^{5555}+ 5555^{2222}\) dzieli się przez 7 to tak samo liczba 2222+ 5555 dzieli się. A z tego drugiego wynik to 7777. Zatem liczba dzieli się przez 7

To, niestety, nie jest takie proste.
Zobacz: Liczba 2+5=7, ale na przykład: \(2^5+5^2=32+25=57\)

Sama myślałam, jak to zapisać bez używania kongruencji.

Może tak:

\(2222^{5555}+5555^{2222}=1111^{5555}\cdot2^{5555}+1111^{2222}\cdot5^{2222}=1111^{2222}\cdot(2^{5555}\cdot1111^{3333}+5^{2222})\)

Pokażmy, że ta suma w nawiasie dzieli się przez 7. Rozpatrywać będę reszty z dzielenia przez 7 poszczególnych liczb w nawiasie.

Pierwszy składnik:
\(2^3=8=7+1\\2^{5555}=2^{5553+2}=2^{3\cdot1851}\cdot4=(7+1)^{1851}\cdot4\)

W liczbie \((7+1)^{1851}\) tylko ostatni składnik nie zawiera w iloczynie liczby 7. Ostatni składnik jest równy 1. Wynika stąd, że liczba \((7+1)^{1851}=7a+1\) , czyli daje w dzieleniu przez 7 resztę równą 1.
Stąd- liczba \(4\cdot(7+1)^{1851}\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą 4.

\(1111=158\cdot7+5\\1111^3=(158\cdot7+3)^3\)

W liczbie \((158\cdot7+5)^3\) tylko ostatni składnik nie dzieli się przez 7. Ta liczba ma postać:
\(1111^3=(158\cdot7+5)^3=7b+5^3=7b+125=7b+18\cdot7-1=7(b+18)-1\)
Zatem- liczba \(1111^3\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą (-1).

\(1111^{3333}=(1111^3}^{1111}=[7(b+18)-1]^{1111}\)
Ta liczba daje resztę z dzielenia przez 7 równą \((-1)^{1111}=-1\)

Zatem:
Liczba \(2^{5555}\cdot1111^{3333}\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równa \((-1)\cdot4=-4\)

Drugi składnik:
\(5^3=125=126-1=18\cdot7-1\\5^{2222}=5^{2220+2}=(5^3)^{740}\cdot5^2\\5^2=25=21+4\\(5^3)^{740}=(18\cdot7-1)^{740}\)
Liczba \(5^2=3\cdot7+4\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą 4.
Liczba \(5^{2220}=(18\cdot7-1)^{740}\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą \(1^{740}=1\)
Liczba \(5^{2222}\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą \(4\cdot1=4\)


Suma w nawiasie:
Liczba \(2^{5555}\cdot1111^{3333}+5^{2222}\) daje w dzieleniu przez 7 resztę równą \(-4+4=0\).
Liczba w nawiasie jest więc podzielna przez 7.
Zatem:
liczba \(2222^{5555}+5555^{2222}\) dzieli się przez 7.