Zadanie optymalizacyjne - węzły.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
szymonzbir
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 22
Rejestracja: 07 lut 2020, 14:17
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Zadanie optymalizacyjne - węzły.

Post autor: szymonzbir » 07 maja 2022, 08:40

Witam, przychodzę z takim oto zadaniem. W zasadzie to nie wiem nawet od czego wystartować. Zadanie wydaje się dość nietypowe. Liczę na pomoc.
Zad.
Cztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna
firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych
miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie
najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,
przedstawiono na poniższym rysunku). Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być
zlokalizowane węzły tej sieci.
Screenshot_2022-05-07-08-40-07-05_e2d5b3f32b79de1d45acd1fad96fbb0f.jpg
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2098
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 29 razy
Otrzymane podziękowania: 985 razy

Re: Zadanie optymalizacyjne - węzły.

Post autor: Jerry » 07 maja 2022, 09:33

Według mnie:
\(|AW_1|+|W_1W_2|+|W_2C|\ge |AC|\)
i równość zachodzi, jeśli \(A,W_1,W_2,C\) są współliniowe.
Pozostaje zoptymalizować \(|DW_1|+|W_2B|\), ale suma ta będzie najmniejsza, gdy składniki będą najmniejsze, czyli dla \(\overline{DW_1}\perp \overline{AC}\perp \overline{W_2B}\). Ale wtedy \(W_1\equiv W_2\) jest środkiem ciężkości kwadratu... :?

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

szymonzbir
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 22
Rejestracja: 07 lut 2020, 14:17
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: Zadanie optymalizacyjne - węzły.

Post autor: szymonzbir » 08 maja 2022, 23:21

Tylko czy wówczas nie powstanie nam jeden węzeł. Polecenie wymaga od nas by istniały dwa (różne!) węzły, czyli oba nie mogą istnieć w środku ciężkości kwadratu. Komplikuje to rozwiązanie tego zadania. Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2098
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 29 razy
Otrzymane podziękowania: 985 razy

Re: Zadanie optymalizacyjne - węzły.

Post autor: Jerry » 09 maja 2022, 03:14

szymonzbir pisze:
08 maja 2022, 23:21
Polecenie wymaga od nas by istniały dwa (różne!) węzły, ...
Wziąłem na tapet to zadanie jeszcze raz i doszedłem do wniosków:
  • myliłem się pisząc poprzedni post
  • suma odległości hipotetycznych węzłów \(W_2\) od \(B,C\) są stałe, o ile leżą one na elipsie o ogniskach \(B,C\)
  • układ sieci powinien być środkowosymetryczny względem \(O\) - środka ciężkości kwadratu i \(O\) powinno być najbliżej tej elipsy
i proponuję:
Niech
\(O(0,0),\, C(150,150),\, W_2(x,0)\), gdzie \(x\in\langle0;150\rangle\)
Wtedy całkowitą długość sieci dróg opisuje funkcja:
\(y=f(x)=2x+4\sqrt{150^2+(150-x)^2}\)
o wykresie, którą trzeba zoptymalizować. Wg mnie
\(y_\min=f(150-50\sqrt3)=300+300\sqrt3<\color{red}{2\cdot300\sqrt2}\)
skąd odpowiedź

Pozdrawiam

*moja poprzednia odpowiedź
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .