Obliczyć (raz jeszcze)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Obliczyć (raz jeszcze)
Wystarczy wynik:
\({n \choose 1} - 2 { n\choose2 } +3 { n\choose 3 }-4 { n\choose4 }+...+(-1)^ {n-1}n { n\choose n }=0\) dla \(n \ge 2\)
czy potrzebujesz także dowodu?
\({n \choose 1} - 2 { n\choose2 } +3 { n\choose 3 }-4 { n\choose4 }+...+(-1)^ {n-1}n { n\choose n }=0\) dla \(n \ge 2\)
czy potrzebujesz także dowodu?
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Obliczyć (raz jeszcze)
Skoro nie indukcyjnie, to może tak:
\( 1{ n\choose 1}- 2{ n\choose 2}+3 { n\choose 3} ...+(-1)^{n-2}(n-1) { n\choose n-1}+(-1)^{n-1}n { n\choose n}=\\=[ { n-1\choose 0} + {n-1 \choose 1}]-2[ {n-1 \choose 1} + { n-1\choose 2} ] +3[ {n-1 \choose 2} + {n-1 \choose 3}]+...+ (-1)^{n-2}(n-1) [ {n-1 \choose n-2} + {n-1 \choose n-1}]+(-1)^{n-1}n=\\
= { n-1\choose 0} - {n-1 \choose 1}(2-1)+ { n-1\choose 2}(3-2)+...+ (-1)^{n-2} {n-1 \choose n-2} [(n-1)-(n-2)]+ (-1)^{n-2}{ n-1\choose n-2}(-1)+ (-1)^{n-2} {n-1 \choose n-1}n+ (-1)^{n-1}n=\\=(1-1)^{n-1}+ (-1)^{n-2} n+ (-1)^{n-1}n =0+(-1)^{n-2} n- (-1)^{n-2}n =0\)
\( 1{ n\choose 1}- 2{ n\choose 2}+3 { n\choose 3} ...+(-1)^{n-2}(n-1) { n\choose n-1}+(-1)^{n-1}n { n\choose n}=\\=[ { n-1\choose 0} + {n-1 \choose 1}]-2[ {n-1 \choose 1} + { n-1\choose 2} ] +3[ {n-1 \choose 2} + {n-1 \choose 3}]+...+ (-1)^{n-2}(n-1) [ {n-1 \choose n-2} + {n-1 \choose n-1}]+(-1)^{n-1}n=\\
= { n-1\choose 0} - {n-1 \choose 1}(2-1)+ { n-1\choose 2}(3-2)+...+ (-1)^{n-2} {n-1 \choose n-2} [(n-1)-(n-2)]+ (-1)^{n-2}{ n-1\choose n-2}(-1)+ (-1)^{n-2} {n-1 \choose n-1}n+ (-1)^{n-1}n=\\=(1-1)^{n-1}+ (-1)^{n-2} n+ (-1)^{n-1}n =0+(-1)^{n-2} n- (-1)^{n-2}n =0\)