Wykż niewymierność liczby

[Januszgolenia]

Udowodnij, że liczba \( \sqrt{5}\) jest liczba niewymierną.

[radagast]

Rozważmy równanie: \(x^2-5=0\)
\( \sqrt{5} \) jest jego pierwiastkiem.
Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów o współczynnikach całkowitych wynika, że jedynymi wymiernymi pierwiastkami wielomianu \(x^2-5=0\) mogłyby być liczby : -1,1,-5,5.
Wniosek:\( \sqrt{5} \) nie jest liczbą wymierną. Jest więc liczbą niewymierną
CBDO

[radagast]

A można też tak:
załóżmy że \( \sqrt{5} \) jest liczbą wymierną . Wtedy \( \sqrt{5} = \frac{p}{q} \), przy czym \(p,q \in N\)
czyli \(q \sqrt{5} =p\), a po podniesieniu do kwadratu: \(5q^2=p^2\).
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(p^2\) - jest parzysta.
Rozważmy teraz liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby \(5q^2\) - jest nieparzysta.
Daje to sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze. Liczba \( \sqrt{5} \) jest więc niewymierna .
CBDO

[Januszgolenia]

A dlaczego liczba piątek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \( p^2\) jest parzysta a w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5q^2\) jest nieparzysta.

[radagast]

\(p^2=p \cdot p\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p\) jest k piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p \cdot p\) jest 2k piątek

\(5q^2=5 \cdot q \cdot q\)
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q\) jest l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q \cdot q\) jest 2l piątek
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(5 \cdot q \cdot q\) jest 2l +1piątek