Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta stała w wysokości 2 tyś zł miesięcznie z dołu, przy założeniu miesięcznej kapitalizacji zarówno raty jak i kapitału? Miesięczna stopa procentowa to 1%.
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Rachunek rent jest podobny do rachunku wkładów oszczędnościowych, które przypomniałem Ci przed chwilą w Twoim pierwszym temacie.
Kwota, która pozostała po \(n\) miesiącach to różnica przyszłej wartości kapitału rentowego \(40000\) i łącznej wartości już wypłaconych rat. Renta się skończy, jeśli ta różnica będzie ujemna. W praktyce któraś pozostałość będzie niższa niż wypłata \(2000\). Ostatnia wypłata będzie więc niższa.
Niech \(r=0{,}01\) oraz \(q=1+r=1{,}01.\)
Wartość kapitału rentowego po \(n\) miesiącach to \(40000q^n\)
Wartość sumy wypłat z dołu to \(2000\dfrac{1-q^n}{1-q}.\)
Pozostałość to wobec tego \(40000\cdot 1{,}01^n-2000\dfrac{1-1{,}01^n}{\color{red}{-}0{,}01}.\) Pytamy, dla jakiego \(n\) ta liczba jest ujemna (ściśle niedodatnia).
W \(23\)-cim miesiącu ta różnica jest ujemna, zaś w \(22\)-gim miesiącu ma wartość \(845{,}46\) i ostatnia, \(23\)-cia wypłata będzie mieć wartość \(845{,}46q=853{,}91.\)
Kwota, która pozostała po \(n\) miesiącach to różnica przyszłej wartości kapitału rentowego \(40000\) i łącznej wartości już wypłaconych rat. Renta się skończy, jeśli ta różnica będzie ujemna. W praktyce któraś pozostałość będzie niższa niż wypłata \(2000\). Ostatnia wypłata będzie więc niższa.
Niech \(r=0{,}01\) oraz \(q=1+r=1{,}01.\)
Wartość kapitału rentowego po \(n\) miesiącach to \(40000q^n\)
Wartość sumy wypłat z dołu to \(2000\dfrac{1-q^n}{1-q}.\)
Pozostałość to wobec tego \(40000\cdot 1{,}01^n-2000\dfrac{1-1{,}01^n}{\color{red}{-}0{,}01}.\) Pytamy, dla jakiego \(n\) ta liczba jest ujemna (ściśle niedodatnia).
W \(23\)-cim miesiącu ta różnica jest ujemna, zaś w \(22\)-gim miesiącu ma wartość \(845{,}46\) i ostatnia, \(23\)-cia wypłata będzie mieć wartość \(845{,}46q=853{,}91.\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2020, 21:06 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawka
Powód: poprawka
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Mam problem z podobnym zadaniem i stąd moje pytanie jak zostały wyliczone wartości 845,46?
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Bardzo Proszę o wyjaśnienie
- Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Rozpatrzmy w liczbach naturalnych nierówność
\(40000\cdot 1,01^n-2000\cdot\frac{1-1,01^n}{-0,01}\ge0\)
Pomocniczo: niech
\(1,01^n=x\wedge x>0\)
wtedy
\(40000t-2000(100t-100)\ge0\ |\colon 20000\)
\(2t-10t+10\ge0\)
\(t\le 1,25\)
czyli
\(1,01^n\le1,25\)
ponieważ
\(1,01^{22}\approx1,2447\) oraz \(1,01^{23}\approx1,2572\)
to odpowiedź jak wyżej
Pozdrawiam
\(40000\cdot 1,01^n-2000\cdot\frac{1-1,01^n}{-0,01}\ge0\)
Pomocniczo: niech
\(1,01^n=x\wedge x>0\)
wtedy
\(40000t-2000(100t-100)\ge0\ |\colon 20000\)
\(2t-10t+10\ge0\)
\(t\le 1,25\)
czyli
\(1,01^n\le1,25\)
ponieważ
\(1,01^{22}\approx1,2447\) oraz \(1,01^{23}\approx1,2572\)
to odpowiedź jak wyżej
Pozdrawiam
-
- Stały bywalec
- Posty: 267
- Rejestracja: 30 paź 2018, 23:03
- Podziękowania: 120 razy
- Płeć:
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Dzięki czyli wartość 856,46 jest błędna?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Przez ile miesięcy z kapitału równego 40tys może być wypłacana renta
Ja tego nie napisałem... Wyznaczyłem tylko inaczej \(22\) - ilość pełnych rat
Pozdrawiam