Ciekawe zadanie z wielomianów

[marekpsi]

Dla jakiej wartości parametrów \(a,b\) liczba \(4\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania
\( -x^4+ax^3-18x^2+bx+96=0\)

[eresh]

Dla jakiej wartości parametrów a,b liczba 4 jest dwukrotnym pierwiastkiem rónania
-x^4+ax^3-18x^2+bx+96=0

\(W(x)=-(x-4)^2(x^2+cx+d)\\
W(x)=-(x^2-8x+16)(x^2+cx+d)\\
W(x)=-(x^4+cx^3+dx^2-8x^3-8cx^2-8xd+16x^2+16xc+16d)\\
W(x)=-x^4+x^3(-c+8)+x^2(-d+8c-16)+x(8d-16c)-16d\\\)

\(-16d=96\\
d=-6\)


\(-d+8c-16=-18\\
6+8c-16=-18\\
8c=-8\\
c=-1\)

\(8d-16c=b\\
-48-16c=b\\
-48+16=b\\
-32=b\)

\(-c+8=a\\
1+8=a\\
a=9\)

[eresh]

Dla jakiej wartości parametrów a,b liczba 4 jest dwukrotnym pierwiastkiem rónania
-x^4+ax^3-18x^2+bx+96=0

Albo

\(W(x)=-x^4+ax^3-18x^2+bx+96\\
W(4)=0\\
-256+64a-288+4b+96=0\\
64a+4b=448\\
b=112-16a\)

\(W'(x)=-4x^3+3ax^2-36x+b\\
W'(4)=0\\
-256+48a-144+b=0\\
48a+b=400\\
48a+112-16a=400\\
32a=288\\
a=9\\
b=-32\)