parametr m

[xenoneq_o0]

Wyznacz m wiedząc, że funkcja \( f(x)= \frac{2x^{2}}{x^{2} +mx+1}\) jest rosnąca tylko w przedziale \((0;1)\)

[Tulio]

Skoro jest rosnąca, to znaczy, że jej pochodna jest dodatnia. Mamy:
\(f'\left( x \right) = \frac{4x \cdot \left( x^2 + mx + 1\right) - 2x^2 \cdot \left( 2x+m \right) }{ \left( x^2+mx+1 \right)^2 } > 0 \)
Dolna część jest zawsze dodatnia (dla \( m \neq \frac{x^2+1}{-x} \)) więc wystarczy by górna była dodatnia:
\(4x^3+4mx^2+4x-4x^3-2mx^2 > 0\)
\(2mx^2+4x > 0\)
\(x \cdot \left( 2mx + 4 \right) > 0\)
Iloczyn jest dodatni gdy albo oba czynniki są dodatnie albo gdy oba są ujemne. Czyli:
\( \left( x > 0 \wedge 2mx + 4 > 0 \right) \vee \left( x < 0 \wedge 2mx + 4 < 0 \right) \)
Teraz tak... lewa ma wyjść tylko dla \(x \in \left( 0; 1\right) \), a prawa nie ma wyjść (tzn. ma być ujemna).
\(2mx + 4 > 0\)
\(mx> -2\)
\(m> \frac{-2}{x}\)
Dla \(x \in \left( 0; 1\right) \) mamy \(m \in \left( - \infty ; -2 \right) \)

Druga część:
\( x < 0 \wedge 2mx + 4 < 0\)
Tak by było jeśli pochodna ma być w tym miejscu dodatnia - chcemy żeby dla \(x < 0\) była ujemna zatem szukamy kiedy:
\( x < 0 \wedge 2mx + 4 > 0\)
\( m > \frac{-2}{x} \)
Dla \(x < 0\) wystarczy, że \(m \in \left( 0; \infty\right) \)

Tak więc:
\(m \in \left( - \infty ; -2 \right), x \in \left( 0; 1\right)\)
\(m \in \left( 0; \infty\right), x < 0 \)

Pozostaje jeszcze kwestia \(x \ge 1\) bo wtedy pochodna musi być ponownie ujemna. Mamy:
\(x \ge 1 \wedge 2mx+4 < 0\)
\(m < \frac{-2}{x} \)
Czyli \(m \in \left(-2; 0 \right), x \in \left\langle 1; \infty \right) \)

[radagast]

Tulio, jaka jest Twoja odpowiedź ?

[Tulio]

Moja odpowiedź jest:
\(m\) należy do przedziału \( \left(0; \infty \right) \) dla \(x < 0\)
\(m\) należy do przedziału \( \left(-\infty; -2 \right) \) dla \(x \in \left( 0; 1\right) \)
\(m\) należy do przedziału \( \left(-2; 0 \right) \) dla \(x \ge 1\)

Nie ma w treści zadania "oblicz" \(m\), a wyznacz. Wartość nie musi być liczbowa - wyznaczyłem \(m\) w odpowiednich przedziałach w zależności od wartości \(x\). Albo lepiej: wyznaczyłem jakie ma być \(m\) (do jakiego przedziału musi należeć) by funkcja była rosnąca tylko w zadanym przedziale.

[xenoneq_o0]

Tulio, jaka jest Twoja odpowiedź ?

Autor podał odpowiedź, że m=-2

[Tulio]

Dla \(m=-2\) mamy asymptotę pionową w \(x=1\) więc jest to prawidłowe. Jak do tego dojść nie znając odpowiedzi?

[Jerry]

Wg mnie warunkiem koniecznym, aby spełnione były warunki zadania jest zerowanie się pochodnej w każdym z \(x\in\{0,1\}\) albo zerowanie się w jednym z nich i drugi poza dziedziną albo oba poza dziedziną (co nie zachodzi!). Pozostają rachunki i weryfikacja warunkiem dostatecznym i monotonicznością...

Pozdrawiam

[edited] animacja (uruchom suwak)

[Tulio]

Dlaczego odrzucasz możliwość minimum w \(x=0\) i maksimum w \(x=1\)?
Tak, widzę, że z rysunku (suwaka) tak wynika, ale skąd to wiedziałeś "pozarysunkowo"?

[Jerry]

Dlaczego odrzucasz możliwość minimum w \(x=0\) i maksimum w \(x=1\)?

Nie odrzucam!

... jest zerowanie się pochodnej w każdym z \(x\in\{0,1\}\) ...

Pozdrawiam

[Tulio]

A, przepraszam. Wszystko jasne.

[Jerry]

... skąd to wiedziałeś "pozarysunkowo"?

Doświadczenie... Zmiana monotoniczności zachodzi najczęściej w ekstremach lub w kresach przedziałów określoności!

Pozdrawiam

[xenoneq_o0]

Wg mnie warunkiem koniecznym, aby spełnione były warunki zadania jest zerowanie się pochodnej w każdym z \(x\in\{0,1\}\) albo zerowanie się w jednym z nich i drugi poza dziedziną albo oba poza dziedziną (co nie zachodzi!). Pozostają rachunki i weryfikacja warunkiem dostatecznym i monotonicznością...

Pozdrawiam

[edited] animacja (uruchom suwak)

Czemu pochodna musi się zerować w każdym z \( x\in\{0,1\}\), nie widzę tego

[Jerry]

Przeczytaj, proszę, mój ostatni post w wątku

Pozdrawiam

[edited] w ramach treningu narysuj sobie wykres np. \(y=f(x)=-x^3+3x\)

[Tulio]

No więc: chcemy żeby funkcja rosła w zakresie \(x\in \left( 0, 1 \right) \). Będzie tak jeśli nastąpi jedno z poniższych:
1. W \(x=0\) będzie minimum (lokalne), zaś w \(x=1\) będzie maksimum (lokalne) - ku temu właśnie pochodne muszą się zerować.
2. W \(x=0\) będzie minimum (lokalne), zaś w \(x=1\) będzie asymptota (i wykres będzie rosnął dla \(x \to 1^{-}\))
3. W \(x=0\) będzie asymptota (i analogiczna uwaga z maleniem), zaś w \(x=1\) będzie maksimum.
4. Będą dwie asymptoty (plus uwagi).

Okazuje się, że tylko 2 ma sens i przez to da się wyznaczyć \(m\) jako liczbę.

PS. Raczej te uwagi nie są konieczne, ale nie szkodzą.

[Jerry]

TAK
I pamiętaj, że trzeba sprawdzić dla tego \(m\)-a, bo mogą się pojawić złośliwości poza danym przedziałem

Pozdrawiam

[edited] uzupełnienie