Zagadnienie Cauchy'ego

[arza77]

1. Wykazać, że zagadnienie Cauchy'ego
\(y′=3xy^2+(x+1)y+5\\
y(0)=0\)
ma jedyne rozwiązanie w przedziale \([−δ,δ]\) , gdzie \(δ\) jest odpowiednio dobraną liczbą dodatnią.

2. Wykazać, że funkcja \(f(x,y)=3y^{23}\) nie spełnia warunku Lipschnitza w żadnym prostokącie postaci \(D=\{(x,y)∈\rr^2:|x|≤a,|y|≤b\}\).

3. Wykazać, że zagadnienie Cauchy'ego
\(y′=−y\\
y(0)=1\)
ma jedynie rozwiązanie w przedziale \(I=[−δ,δ]\), gdzie \(δ>0\) jest odpowiednio dobraną liczbą. Wyznaczyć to rozwiązanie za pomocą ciągu kolejnych przybliżeń.

[grdv10]

3. \(y'=f(x,y)\), gdzie \(f(x,y)=-y\) jest funkcją ciągłą w \(\rr\) oraz spełnia warunek Lipschitza ze względu na \(y\):\[\left|f(x,y_1)-f(x,y_2)\right|=\left|y_2-y_1\right|\le 1\cdot \left|y_2-y_1\right|.\]Zatem założenia twierdzenia Picarda są spełnione wszędzie, więc \(\delta\) może być dowolnie duża.

1. Funkcja \(f(x,y)=3xy^2+(x+1)y+5\) jest ciągła, a ze względu na \(y\) jest trójmianem kwadratowym, więc spełnia warunek Lipschitza w każdym przedziale \([a,b]\). Znów są spełnione założenia twierdzenia Picarda.

2. Znów zadanie pod równania różniczkowe. I teza jest błędna. Funkcja \(f(x,y)=3y^{23}\) ma ciągłą pochodną. Funkcja mająca ciągłą pochodną w jakimś przedziale domkniętym spełnia w nim warunek Lipschitza. Warunek ten nie jest spełniony w żadnym przedziale \([a,\infty)\) (dla \(y\)).