Zbiór wartości funkcji

[Ziknimiki]

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem
\[f(x)=4^x -2^{x+1}-8\]dla \(x\in [-1,3].\)

Niestety nie mogę wstawić zdjęcia

[grdv10]

Zdjęć tu się nie wstawia.

Wskazówka: podstaw \(2^x=t\). Jeśli \(-1\le x\le 3\), to \(\frac{1}{2}\leqslant t\leqslant 8.\) Należy więc wyznaczyć zbiór wartości przyjmowanych przez funkcję kwadratową \(t^2-2t-8\) dla \(\frac{1}{2}\leqslant t\leqslant 8.\) W ramach powtórki z funkcji kwadratowych spróbuj to zrobić samodzielnie.

[eresh]

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem
f(x)=4^x -2^(x+1)-8, dla x€[-1,3].

Niestety nie mogę wstawić zdjęcia

Rozwiązanie:

Spoiler

\(f(x)=4^x-2^{x+1}-8\\
f(x)=2^{2x}-2^x\cdot 2-8\\
2^x=t\\
g(t)=t^2-2t-8\\
t\in[\frac{1}{2},8]\\
p=\frac{2}{2}=1\in [\frac{1}{2},8]\
g(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-1-8=-8\frac{3}{4}\\
g(8)=64-16-8=40\\
g(1)=1-2-8=-9\\
ZW=[-9,40]\)

[Ziknimiki]

Dlaczego t należy do [1/2; 8]

[eresh]

Dlaczego t należy do [1/2; 8]

\(2^x=t\\
2^{-1}=0,5\\
2^3=8\)

[grdv10]

Dlaczego t należy do [1/2; 8]

\(2^x=t\\
2^{-1}=0,5\\
2^3=8\)

Wobec tego rodzaju pytania OP należy jeszcze dodać, że wyrażenie \(2^x\) rośnie wraz ze wzrostem \(x\).