zadanie optymalizacyjne

[xenoneq_o0]

W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca

[eresh]

W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca

H - wysokość walca
r - promień podstawy walca

\(H^2+(2r)^2=(2R)^2\\
H^2+4r^2=4R^2\\
H=\sqrt{4R^2-4r^2}\\
H=2\sqrt{R^2-r^2}\\
R^2-r^2>0\\
r\in (0,R)\)

\(P=2\pi rH\\
P(r)=2\pi\cdot r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\\
P(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}\\
P'(r)=4\pi\sqrt{R^2-r^2}+4\pi r\cdot\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi (\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}})\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{R^2-r^2-r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{(R-\sqrt{2}r)(R+\sqrt{2}r)}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)>0\iff r\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)\\
P'(r)<0\iff r\in (\frac{\sqrt{2}}{2}R,\infty)\\
P_{max}=P(\frac{R\sqrt{2}}{2})\)

[xenoneq_o0]

W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca

H - wysokość walca
r - promień podstawy walca

\(H^2+(2r)^2=(2R)^2\\
H^2+4r^2=4R^2\\
H=\sqrt{4R^2-4r^2}\\
H=2\sqrt{R^2-r^2}\\
R^2-r^2>0\\
r\in (0,R)\)

\(P=2\pi rH\\
P(r)=2\pi\cdot r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\\
P(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}\\
P'(r)=4\pi\sqrt{R^2-r^2}+4\pi r\cdot\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi (\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}})\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{R^2-r^2-r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{(R-\sqrt{2}r)(R+\sqrt{2}r)}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)>0\iff r\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)\\
P'(r)<0\iff r\in (\frac{\sqrt{2}}{2}R,\infty)\\
P_{max}=P(\frac{R\sqrt{2}}{2})\)

Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?

[eresh]

Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?

Wystarczy podstawić do wzoru na H

[xenoneq_o0]

Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?

Wystarczy podstawić do wzoru na H

Okej dziękuję bardzo