Wykres funkcji jest styczny do osi OX

[avleyi]

Wykres funkcji \(f(x)=-x^3-ax+2\) jest styczny do osi OX
a. Oblicz współczynnik a i wyznacz współrzędne punktu styczności
b. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi OY o pewien niezerowy wektor \( \vec{u} \) i okazało się, że otrzymany wykres jest również styczny do osi OX. Oblicz współrzędne wektora \( \vec{u} \)

[Jerry]

Wykres funkcji \(f(x)=-x^3-ax+2\) jest styczny do osi OX
a. Oblicz współczynnik a i wyznacz współrzędne punktu styczności

Aby zaszły warunki zadania trzeba i wystarczy:
\(\begin{cases}f(x_0)=0\\ f'(x_0)=0\end{cases}\iff \begin{cases}-x_0^3-ax_0+2=0\\ -3x_0^2-a=0=0\end{cases}\So -x_0^3+3x_0^3+2=0 \)
Zatem
\(\begin{cases}x_0=-1\\a=-3\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. Obrazek

[Jerry]

b. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi OY o pewien niezerowy wektor \( \vec{u} \) i okazało się, że otrzymany wykres jest również styczny do osi OX. Oblicz współrzędne wektora \( \vec{u} \)

Z powyższego:
\(f(x)=-x^3+3x+2\\ f'(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)\wedge D'=D=\rr\)
Analizując znak pochodnej można wywnioskować, że
\(\begin{cases}x=-1\\y_\min=0\end{cases}\vee\begin{cases}x=1\\y_\max=4\end{cases}\)
Jeśli przesuniemy wykres \(f\) o wektor \([-4,0]\), to spełnimy warunki zadania

Pozdrawiam