Wielomian.

[nijak]

Sprawdzić, że wielomian \((x-a)^{2n} + (x-b)^n-1\) jest podzielny przez wielomian \(x^2 - (a+b)*x +ab\), gdzie a jest rozwiązaniem równania \(\log_x 2x*log_2 x=2\), zaś b jest wartością argumentu x dla którego funkcja \(f(x)=(x-1)^2 * \sqrt{x^2-2x+3}\) osiąga minimum.

[eresh]

Sprawdzić, że wielomian \((x-a)^{2n} + (x-b)^n-1\) jest podzielny przez wielomian \(x^2 - (a+b)*x +ab\), gdzie a jest rozwiązaniem równania \(\log_x 2x*log_2 x=2\), zaś b jest wartością argumentu x dla którego funkcja \(f(x)=(x-1)^2 * \sqrt{x^2-2x+3}\) osiąga minimum.

\(\log_x2x\log_2x=2\\
(\log_x2+1)\log_2x=2\\
1+\log_2x=2\\
\log_2x=1\\
x=2\\
a=2\)

\(f(x)=(x-1)^2\sqrt{x^2-2x+3}\\
f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-2x+2)}{\sqrt{x^2-2x+1}}\\
f_{min}=f(1)\\
b=1\)

\(W(x)=(x-2)^{2n}+(x-1)^n-1\\
F(x)=x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\\
W(2)=(2-1)^n-1=0\\
W(1)=(-1)^{2x}-1=0\)

wielomian jest podzielny przez \((x-1)\) i \((x-2)\), jest więc podzielny przez \((x-1)(x-2)=F(x)\)