Wykaż

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 131
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 556 razy
Płeć:

Wykaż

Post autor: anilewe_MM »

że dla \(a,b>1\) jest \(\log_a\frac{a+b}{2}+\log_b\frac{a+b}{2}\ge2\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Re: Wykaż

Post autor: kerajs »

\(\log_a\frac{a+b}{2}+\log_b\frac{a+b}{2}\ge \log_a \sqrt{ab} +\log_b \sqrt{ab} =
\frac{1}{2} (\log_aab+\log_bab)= \\ =\frac{1}{2} (1+\log_ab+\log_ba+1)=
\frac{1}{2} (2+ 2 \frac{\log_ab+\log_ba}{2} )\ge \frac{1}{2} (2+ 2 \sqrt{\log_ab\log_ba} )=\\=
\frac{1}{2} (2+ 2 \sqrt{1} )=2
\)

Równość zachodzi dla a=b
ODPOWIEDZ