Wyznacz parametr p

[avleyi]

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), gdzie p \(\in \rr \), dla których dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie:
1) \( \cos x + \cos(x+ \frac{ \pi }{3}) = 4 + p \)

2) \( |\sin x| + |\cos x| = p -1 \)

[Jerry]

Wyznacz wszystkie wartości parametru p, gdzie p \(\in \rr \), dla których dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie:
2) \( |sinx| + |cosx| = p -1 \)

Można zauważyć, że funkcja
\(y=f(x)=|\sin x|+|\cos x|\)
określona w dziedzinie rzeczywistej jest okresowa i okresem jest \({\pi\over2}\). Zbiór wartości jest zatem równy zbiorowi wartości tej funkcji określonej na \(D=\langle0;{\pi\over2}\rangle\). A wtedy
\(y=f(x)=\sin x+\cos x=\sin x+\sin({\pi\over2}+x)=2\sin(x+{\pi\over4})\cos(-{\pi\over4})=\sqrt2\sin(x+{\pi\over4})\)
czyli
\(1\le y\le\sqrt2\)
zatem musi
\(1\le p-1\le\sqrt2\\
2\le p\le \sqrt2+1\)

Pozdrawiam

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru p, gdzie p \(\in \rr \), dla których dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie:
1) \( cosx + cos(x+ \frac{ \pi }{3}) = 4 + p \)

\(\cos x+\cos(\frac{\pi}{3}+x)=2\cos\frac{x+\frac{\pi}{3}+x}{2}\cos\frac{x-\frac{\pi}{3}-x}{2}=2\cos(x+\frac{\pi}{6})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cos(x+\frac{\pi}{6})\)
aby równanie miało rozwiązanie, prawa strona musi być zawarta w zbiorze wartości funkcji z lewej strony, czyli
\(-\sqrt{3}\leq 4+p\leq \sqrt{3}\\
-4-\sqrt{3}\leq p\leq \sqrt{3}-4\)

[anilewe_MM]

Można zauważyć, że funkcja
\(y=f(x)=|\sin x|+|\cos x|\)
określona w dziedzinie rzeczywistej jest okresowa i okresem jest \({\pi\over2}\).

Mógłyś uzasadnić?

[Jerry]

\(\bigwedge\limits_{x\in D=\rr}(x+{\pi\over2})\in D\wedge f(x+{\pi\over2})=|\sin (x+{\pi\over2})|+|\cos (x+{\pi\over2})|=\\ \qquad=|\cos x|+|-\sin x|=|\sin x|+|\cos x|=f(x)\)

zatem...
Obrazek

Pozdrawiam
PS. Nie napisałem "podstawowy" !

[anilewe_MM]

Dziękuję, nie pisałam, że ma być podstawowy

Ale ten desmos mi się podoba!!!