trójkąt - optymalizacja

[anilewe_MM]

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień okręgu wpisanego w ten trójkąt był największy?

[Jerry]

Przyjmijmy oznaczenia:

Niech \(x=\tg{\alpha\over2}\wedge x\in(0;1)\), bo \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\)
Wtedy:

• Z \(\Delta AMQ\) mamy \(AM={r\over x}\)
• Z \(\Delta AMC\) mamy \(h=AM\cdot \tg\alpha={r\over x}\cdot{2x\over1-x^2}={2r\over1-x^2}\)
• \(S_\Delta={1\over2}\cdot2{r\over x}\cdot{2r\over1-x^2}={2r^2\over x-x^3}\)

Ostatecznie \[r(x)=\sqrt{S_\Delta(x-x^3)\over2}\wedge x\in(0;1)\]
Wystarczy wskazać ekstrema funkcji \[y=f(x)=-x^3+x\text{ w }D=(0;1)\] i wnioskować...

Odpowiedź

\(|\angle ACB|={\pi\over3}\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka bad-klick