Przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

[Nakumotte]

Witam!
Czy ktoś mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu tych dwóch zadań ?

1. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=-{1\over3}x^3+4x^2-12x+1\)

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(f(x)={-x^2+x-2\over x+1}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

1. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=-{1\over3}x^3+4x^2-12x+1\)

\(f'(x)=\big(-{1\over3}x^3+4x^2-12x+1\big)'=-x^2+8x-12=-(x-2)(x-6)\wedge D'=D=\rr\)
Zatem, uwzględniając znak pochodnej:
\(f\searrow(-\infty;2)\wedge f\nearrow(2,6)\wedge f\searrow(6;+\infty)\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(f(x)=-x^2+x-{2\over x+1}\)

\(f'(x)=\big(-x^2+x-{2\over x+1}\big)'=-2x+1+{2\over(x+1)^2}={-2x^3-3x^2+3\over(x+1)^2}\wedge D'=D=\rr\setminus\{-1\}\)
ale ta pochodna zeruje się w niemiłym \(x\approx0,8\), czyli... nie domyśliłem się poprawnego wzoru funkcji

Pozdrawiam

[Nakumotte]

Dopiero po tej uwadze zorientowałem się, jakie dać polecenie aby był w ułamku. Czy to co wyżej zostało przez Ciebie napisane, jest poprawnie czy musiałbym coś zmienić? Z góry dziękuję za odpowiedź.

teraz jest tak: \(f(x)={-x^2+x-2\over x+1}\) po mojej edycji tekstu.

[Jerry]

A jednak...

2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(f(x)={-x^2+x-2\over x+1}\)

\(f'(x)=\left({-x^2+x-2\over x+1}\right)'={-x^2-2x+3\over(x+1)^2}={-(x+3)(x-1)\over(x+1)^2}\wedge D'=D=\rr\setminus\{-1\}\)
WKIE: \(f'(x)=0\iff x\in\{-3,1\}\)
WDIE: analizując znak pochodnej:
\(f\searrow(-\infty;-3)\wedge f\nearrow(-3;-1)\wedge f\nearrow(-1;1)\wedge f\searrow(1;+\infty)\)
Ostatecznie
\(\begin{cases}x=-3\\ y_{min}=f(-3)=7\end{cases}\vee\begin{cases}x=1\\ y_{max}=f(1)=-1\end{cases}\)

Pozdrawiam

[edited] zauważyłem po napisaniu posta, że

Czy to co wyżej zostało przez Ciebie napisane, jest poprawnie ...

Do poprzedniej treści - tak, do poprawnej - właśnie napisałem

[Nakumotte]

Zatem dziękuję bardzo za pomoc!

Pozdrawiam!