Rownanie stycznej do wykresów

[anilewe_MM]

Znajdź równanie wspólnej stycznej do wykresów funkcji:
\(f(x)=x^2+4x+7,\ g(x)=-2x^2+10x-2\)

[korki_fizyka]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=77261

[Icanseepeace]

To może tak:
wzór stycznej: \( y = ax + b \)
Tworzymy układ równań z styczną oraz pierwszą funkcja:
\( \begin{cases} y = x^2 + 4x + 7 \\ y = ax + b \end{cases} \)
Skąd:
\( x^2 + (4-a)x + 7 - b = 0 \)
Styczna do funkcji kwadratowej ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny, dlatego mamy:
\( (a-4)^2 - 4(7 - b) = 0 \)
Stosując podobne rozumowanie dla drugiej funkcji dostajemy drugie równanie:
\( (a - 10)^2 - 8(b+2) = 0 \)
Tworzymy układ równań:
\( \begin{cases} (a-4)^2 -4(7-b) = 0 \\ (a-10)^2 -8(b+2) = 0 \end{cases} \)
co po rozwiązaniu daje:
\( \begin{cases} a = 2 \\ b = 6 \end{cases} \vee \begin{cases} a = 10 \\ b = -2 \end{cases} \)
i w konsekwencji szukane wzory stycznych:
\( y = 2x + 6 \vee y = 10x - 2 \)

[Jerry]

Albo:

Fakt:
Do krzywej różniczkowalnej \(y=f(x)\wedge x\in D_f\) istnieje rodzina stycznych:
\[s_m:y=f'(m)(x-m)+f(m)\wedge m\in D'_f\]

\[\begin{matrix}f(x)=x^2+4x+7&& g(x)=-2x^2+10x-2\\
f'(x)=2x+4\wedge D_f'=D_f=\rr&&g'(x)=-4x+10\wedge D_g'=D_g=\rr\\
s_m:y=(2m+4)x-m^2+7& \quad&s_n:y=(-4n+10)x+2n^2-2\end{matrix}\\
\qquad s_m\equiv s_n\iff \begin{cases}2m+4=-4n+10\\-m^2+7=2n^2-2\end{cases}\]
Pozostaje rozwiązać ten układ, podstawić do równania stycznej i napisać, jak podał Icanseepeace , odpowiedź

Pozdrawiam

[edited] rodzina stycznych w "szukajce"

[anilewe_MM]

Ta rodzina stycznych jest super, dziękuję. Szkoda, że tego nas profesor nie uczy

[korki_fizyka]

\(x^2+4x+7\)
\(-2x^2+10x-2\)
\(2x+6\)
\(10x-2\)