Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
SHOO
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 07 lis 2021, 20:22
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: SHOO »

\( f(x) = |x − 1|^3 *|x − 2| \)

Nie wiem w jaki sposób mam podejść do tego zadania. Po prostu obliczyć pochodną skoro dziedzina to R ?
Jeśli tak to w jaki sposób obliczyć pochodną z modułu?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: Jerry »

Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: Jerry »

Wykres danej funkcji z którego wynika nieróżniczkowalność w \(x=2\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: Jerry »

Dziś mam więcej czasu, więc...
\( f(x) = |x − 1|^3 \cdot|x − 2| = \begin{cases} (x-1)^3(x-2) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle2;+\infty)\\ -(x-1)^3(x-2) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

\( f'(x) = \begin{cases} 4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Dana funkcja, na mocy znanych faktów, jest ciągła i różniczkowalna we wnętrzach przedziałów określoności, łatwo sprawdzić, że jest ciągła w \(x_1=1\) oraz \(x_2=2\), pozostaje sprawdzić w nich różniczkowalność:

\(\Lim_{x\to1^-}f'(x)=0=\Lim_{x\to1^+}f'(x)\)
czyli \(f'(1)=0\)

\(\Lim_{x\to2^-}f'(x)=-1\ne1=\Lim_{x\to2^+}f'(x)\)
czyli \(f'(2)\) nie istnieje

Pozdrawiam
SHOO
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 07 lis 2021, 20:22
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: SHOO »

Dziękuję bardzo Jerry!
Takiego właśnie wytłumaczenia potrzebowałem.

Pozdrawiam
SHOO
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 07 lis 2021, 20:22
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: SHOO »

Tutaj mamy chyba błąd w rozwiązaniu dla \( x\in(1;2) \)

\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Powinno wyjść:
\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(4x-7) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ (x-1)^2(-2x+5) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: eresh »

SHOO pisze: 09 gru 2021, 16:48 Tutaj mamy chyba błąd w rozwiązaniu dla \( x\in(1;2) \)

\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ -4(x-1)^2(x-{7\over4}) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)

Powinno wyjść:
\( f'(x) = \begin{cases} (x-1)^2(4x-7) & \text{ dla } & x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ (x-1)^2(-2x+5) & \text{ dla } & x\in(1;2)\end{cases} \)
wynik Jerry'ego jest poprawny
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
SHOO
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 07 lis 2021, 20:22
Podziękowania: 10 razy
Płeć:

Re: Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie następujących funkcji. Czy f ∈ C^1 (R)?

Post autor: SHOO »

Zgadza się. Właśnie pisałem, że to błąd u mnie.
Dziękuję bardzo. 😀
ODPOWIEDZ