funkcja

[iwaki]

Dana jest funkcja \(f(x)=(k-1)x^3-4x^2+(k+2)x\). Niech \(p\): \(R\to\ R\) oznacza funkcje, która parametrowi \(k\) przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania \(f(x)=0\). Znajdź wszystkie wartości \(k\), dla których \(p(k)\) jest liczbą parzystą

[eresh]

Dana jest funkcja \(f(x)=(k-1)x^3-4x^2+(k+2)x\). Niech \(p\): \(R\to\ R\) oznacza funkcje, która parametrowi \(k\) przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania \(f(x)=0\). Znajdź wszystkie wartości \(k\), dla których \(p(k)\) jest liczbą parzystą

\(f(x)=(k-1)x^3-4x^2+(k+2)x\\
(k-1)x^3-4x^2+(k+2)x=0\\
x((k-1)x^2-4x+k+2))=0\\
x=0\;\;\vee\;\;(k-1)x^2-4x+k+2=0\)

dla \(k=1\): \(-4x+3=0\) - równanie ma jedno rozwiązanie - w sumie mamy dwa rozwiązania (parzysta liczba)

dla \(k\neq 1\)
aby równanie miało parzystą liczbę rozwiązań \((k-1)x^2-4x+k+2=0\) musi mieć jedno rozwiązanie, czyli \(\Delta=0\)
\(\Delta =16-4(k-1)(k+2)\\
16-4(k-1)(k+2)=0\\
4-(k^2+k-2)=0\\
-k^2-k+6=0\\
k=2\\
k=-3\)

Odpowiedź: \(k\in\{1,2,-3\}\)

[Jerry]

Ponadto dla \(k=-2\) mamy
\(f(x)=-3x^3-4x^2=-3x^2\left(x+{4\over3}\right)\\
f(x)=0\iff (x=0\vee x=-{4\over3})\).

W tym przypadku zachodzi \(1+2=2\)

Pozdrawiam