Wielomian

[kaizmoto1489]

Witam wszystkich, czy możecie mi pomóc z tym problemem?

Wielomian \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(-2\). Oblicz współczynniki \(a,\ b ,\ c\) wiedząc że \(W(-3) = -48\)

Z góry dziękuję!!!

[korki_fizyka]

Próbowałeś ułożyć układ równań i go rozwiązać?

[Icanseepeace]

Skoro pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2 to można je zapisać w postaci:
\( x_1 = A - 2 \ , \ x_2 = A \ , \ x_3 = A + 2 \) dla pewnej liczby rzeczywistej \( A \)
Wtedy postać iloczynowa tego wielomianu jest następująca:
\( W(x) = (x - A + 2)(x-A)(x-A-2) = (x-A)^3 - 4(x-A) \)
Ponadto wiemy, że \( W(-3) = -48 \), zatem
\( W(-3) = -(A+3)^3 + 4(A+3) = -48 \So (A+3)^3 - 4(A+3) - 48 = 0 \)
Stąd po rozwiązaniu dostajemy, że \( A = 1 \) i nasz wielomian ma postać:
\( W(x) = (x+1)(x-1)(x-3) \)
Wystarczy wymnożyć i porównać współczynniki (lub skorzystać z wzorów Viete'a)
Edit:
Zamieniłem oznaczenie \( x_2 = a \) na \( x_2 = A \) ze względu na kolizję oznaczać z współczynnikiem wielomianu.

[Jerry]

Albo

...skorzystać z wzorów Viete'a..

Z nich wynika bezpośrednio, że
\((x_2-2)+x_2+(x_2+2)=-a\)
czyli, zgodnie z oznaczeniami Icanseepeace
\(A=x_2=-{a\over3}\)

Pozdrawiam