monotoniczność funkcji

[cheruille]

Wskaż przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)= \frac{x+4}{x^2-4} \)

[Jerry]

Ponieważ
\(y'=f'(x)=\left( \frac{x+4}{x^2-4}\right)={-x^2-8x-4\over(x^2-4)^2}\wedge D'=D=\rr\bez\{-2,2\} \)
to o monotoniczności decyduje tylko licznik pochodnej: \(g(x)=-x^2-8x-4\) określony w \(D'\)
Ostatecznie:
\(f\searrow(-\infty;-4-2\sqrt3)\wedge f\nearrow(-4-2\sqrt3;-2)\wedge f\nearrow(-2;-4+2\sqrt3)\wedge f\searrow(-4+2\sqrt3;2)\wedge f\searrow(2;+\infty)\)
Pozdrawiam

[Icanseepeace]

\( D : x \neq -2 \wedge x \neq 2 \)
\( f(x) = \frac{x+4}{x^2 - 4} \\ f'(x) = \frac{x^2 - 4 - 2x(x+4)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-(x^2 + 8x + 4)}{(x^2-4)^2} \)
Sprawdzamy gdzie funkcja jest rosnaca:
\( f'(x) > 0 \So x^2 + 8x + 4 < 0 \So x^2 + 8x + 16 < 12 \So (x + 4)^2 < 12 \So x \in (-4 - 2\sqrt{3} , -4 + 2\sqrt{3}) \)
Pamiętając o dziedzinie otrzymujemy, że funkcja rośnie przedziałami: \( (-4 -2\sqrt{3} , -2) \) oraz \( (-2 , -4 + 2\sqrt{3}) \)
Natomiast maleje również przedziałami: \( (-\infty , -4 -2\sqrt{3}) \) oraz \( (-4 + 2\sqrt{3} , 2) \) oraz \( (2 , \infty) \)