Zadanie uzasadnij

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Hacker000
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 22 kwie 2020, 09:37
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Zadanie uzasadnij

Post autor: Hacker000 »

Uzasadnij że, równanie \(\frac{x^3}{x+1} - 2 = 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Awatar użytkownika
Młodociany całkowicz
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 170
Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 39 razy

Re: Zadanie uzasadnij

Post autor: Młodociany całkowicz »

Zacznijmy od tego, że wyrażenie p\(\frac{x^3}{x+1}\) nie ma sensu dla \(x = -1\), wobec czego jeśli w toku dalszych rozważań uzyskamy takie rozwiązanie, będziemy musieli je odrzucić.

Wymnóżmy obustronnie razy \(x+1\).

\(x^3 - 2x -2 = 0\)

Niech \(f(x) = x^3 - 2x -2\)

\(f'(x) = 3x^2 - 2\)

A zatem miejsca zerowe pochodnej to:

\(\lbrace -\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\rbrace \)

Po przeprowadzeniu analizy znaków pochodnej i tym samym przebiegu zmienności funkcji uzyskujemy, że w punkcie \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\) funkcja osiąga lokalne maksimum, po czym maleje i osiąga lokalne minimum w \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), za tą granicą rosnąc już do nieskończoności.

\(f(-\sqrt{\frac{2}{3}}) = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} + 2\sqrt{\frac{2}{3}} - 2 = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}-2 < \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} < 0\).

A zatem Funkcja rośnie, aż osiąga ujemne maksimum lokalne, potem maleje do minimum lokalnego, a potem rośnie do nieskończoności, z pewnością osiągając miejsce zerowe. Ponadto, wiedząc, że minimum jest osiągane dla argumentu dodatniego, wiemy, że tym miejscem zerowym nie jest \(-1\).
ODPOWIEDZ