Liczba punktów wspólnych.

[gr4vity]

Ile punktów wspólnych ma wykres funkcji \(f(x)= \frac{2x-3}{x+2} \) z wykresem funkcji \(g(x)= \sqrt{x} \)
W co w takim zadaniu najlepiej iść?
Spróbowałem w szkicowanie wykresów, ale trochę dużo roboty, dodatkowo wykresy są dosyć blisko siebie więc dużo punktów trzeba sprawdzać.
Chciałem arytmetycznie ale wychodzi coś takiego:
\( \frac{2x-3}{x+2} = \sqrt{x} \wedge x \ge \frac{3}{2} \)
\(2x-3= x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} \)
Zastanawiałem się teraz nad pomocniczą niewiadomą, ale również są problemy chociażby z dziedziną dla parametru \(t= \sqrt{x}\)
Jest może jakiś trzeci sposób?

[Icanseepeace]

Dla \( x < \frac{3}{2} \) mamy oczywistą sprzeczność.
Jeśli \( x \in [\frac{3}{2} , 4] \) to \( g(x) > 1 \) i \( f(x) < 1 \) skąd również otrzymujemy sprzeczność.
Dla \( x > 4 \) funkcja \( f \) nie przekracza 2 a funkcja \( g \) przyjmuje wartości większe od 2.
Czyli brak punktów wspólnych.

[Jerry]

\(2x-3= x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} \)

Niech \(\sqrt x=t\ge0\), wtedy
\(t^3-2t^2+2t+3=0\)
Ale
\(w(t)=t^3-2t^2+t+t+3=t(t-1)^2+t+3\ge3\)
dla \(t\ge0\), zatem równanie jest sprzeczne i ... zgadzam się z Icanseepeace

Pozdrawiam