Wielomian

[MicTyb]

Dany jest wielomian \(W(x)=5x^4-ax^3-bx^2+cx+6\). Reszta z dzielenia wielomianu \( W\) przez \((x-1)\) wynosi \(-40\), przez \((x-2)\) wynosi \( -228\), a przez \((x+2)\) wynosi \(152\). Wyznacz współczynniki \(a,b,c\) oraz pierwiastki tego wielomianu.

[grdv10]

Wskazówka: reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \(x-\alpha\) wynosi \(w(\alpha).\)

[Jerry]

Zgodnie ze wskazówką szw1710 mamy układ

\( \begin{cases}5-a-b+c+6=-40\\ 80-8a-4b+2c+6=-228\\80+8a-4b-2c+6=152 \end{cases}\iff \begin{cases} a=25\\ b=31\\ c=5\end{cases} \)
Zatem
\(w(x)=5x^4-25x^3-31x^2+5x+6=(x-1)(5x^3-30x^2-x+\color{red}{6})=\\
\qquad=(x-1)(x-6)(5x^2-1)=5(x-1)(x-6)\left(x-{\sqrt5\over5}\right)\left(x-{\sqrt5\over5}\right)\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia

[edited] poprawka bad-click po poniższym

[MicTyb]

Dziękuję za pomoc.
Powinno być \( \ldots =(x-1)(5x^3-30x^2-x+ 6 )= \ldots \), ale reszta jest dobrze.

Mam jeszcze pytanie, czy jest jakaś inna, łatwiejsza metoda przy układzie trzech nierówności z trzema niewiadomymi niż podstawiania? Wiem, że akurat w tym przypadku można było dodać drugie i trzecie równanie, żeby zostało samo \(b\), ale co zrobić, gdy mam trudniejsze równania?

Pozdrawiam.

[Jerry]

Rzeczywiście, wykorzystałem przeciwne współczynniki, do rachunku w pamięci...

...czy jest jakaś inna, łatwiejsza metoda przy układzie trzech nierówności z trzema niewiadomymi niż podstawiania? ...

Jeśli znasz wyznaczniki, regułę Sarrusa i wzory Cramera, to idzie bardzo arytmetycznie...

Pozdrawiam