Optymalizacja funkcji.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

Czy w poniższych przypadkach uzasadnienie jest ok?
1) \(f(x)=\sqrt{-x^3+x^2+x+6}\)
\(h(x)=-x^3+x^2+x+6\)
Pierwiastek jest funkcją rosnącą zatem f(x) i h(x) mają takie same przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne (tego samego typu) przyjmują dla tych samych argumentów.
2) \(f(x)= \left(\frac{1}{2}\right)^{x^3+x^2+1}\)
\(h(x)=x^3+x^2+1\)
Funkcja wykładnicza o podstawie z przedziału (0,1) jest funkcją malejącą, zatem f(x) i h(x) mają przeciwne przedziały monotoniczności, a ekstrema lokalne ( przeciwnego typu) przyjmują dla tych samych argumentów.
Ostatnio zmieniony 11 mar 2021, 20:17 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; \left(, \right)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: panb »

Poza stwierdzeniem "przeciwne przedziały monotoniczności" wszystko jest OK.
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

Czyli powinno być takie same?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: panb »

Nie, nie! Tylko jest to niezrozumiałe. Wiadomo o co chodzi i jeśli takie sformułowanie spotkałeś już albo używacie go na lekcji, to nie ma sprawy.
Moim zdaniem przedziały monotoniczności są takie same, tylko rodzaj monotoniczności jest przeciwny.
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

Aaaa okej :lol:
Dziękuję bardzo!
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: kerajs »

W 1) funkcje mają różne dziedziny, więc bez sprawdzenia czy ekstrema do nich należą, powyższy wniosek jest nieuprawniony.
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

W jaki sposób mam to sprawdzić? W sensie chodzi mi tutaj o to, że do zadań optymalizacyjnych zostałem w szkole nauczony, żeby zawsze przy wykorzystywaniu funkcji pomocniczej przy optymalizacji pierwiastka napisać taką formułkę. Jest ona również strzelona w kryteriach maturalnych. Na czym dokładnie powinno polegać w takim razie sprawdzenie tych ekstremów?
Obrazek
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: kerajs »

To pewnie pytanie do mnie, lecz przegapiłem ten post.

Zauważ że w cytowanym przykładzie liczysz odległość, więc wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne dla każdej wartości parametru a, i stąd ekstremum pierwiastka jest tożsame z ekstremum wyrażenia podpierwiastkowego.
Jednak w przykładzie 1) tak nie jest. Bez sprawdzenia czy argument dla którego uzyskujesz ekstremum należy do dziedziny pierwiastka (albo czy wartość uzyskanego ekstremum jest nieujemna) nie można stwierdzić istnienia tego ekstremum (choć jest to ekstremum wyrażenia podpierwiastkowego).


Ciekawe co powiesz o ekstremach funkcji:
a) \(y= \sqrt{2x^4-4x^2-1}\)
b) \(y= \sqrt{2x^4-4x^2+1}\)
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

Okej, rzeczywiście teraz widzę. Dziękuję bardzo. Po prostu nie sprecyzowałem pytania, ponieważ w zadaniach optymalizacyjnych, zawsze ta dziedzina jest dostosowana do zadania, tutaj nic nie wspomniałem o dziedzinie i rzeczywiście to ma sens :lol:
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Optymalizacja funkcji.

Post autor: gr4vity »

Wybacz, że jeszcze dopytam, ale naszła mnie jeszcze jedna myśl.
W takim zadaniu:
Znajdź punkt na wykresie funkcji \(f(x)=x^2\) leżący najbliżej punktu \(A=(3,0)\).
W takim punkt na wykresie tej funkcji mogę oznaczyć jako \(P(x,x^2)\) gdzie \(x \in R\) zatem optymalizowaną funkcją będzie funkcja: \(|AP|= \sqrt{(x-3)^2+x^4}\) czyli \(|AP|= \sqrt{x^4+x^2-6x+9} \)
\(f(x)=x^4+x^2-6x+9\)
I w tym przypadku mimo, że dziedziny tych funkcji są rożne to wykorzystano tą formułkę: ,,Pierwiastek jest funkcją rosnącą zatem f(x) i AP mają takie same przedziały monotoniczności a ekstrema lokalne tego samego typu przyjmują dla tych samych argumentów".
Czyli dobrze rozumiem, że w takim przypadku błędnie sformułowali to zdanie?

EDIT: Przepraszam, nie zauważyłem że funkcja pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnia, pora iść spać :?
ODPOWIEDZ