nie wiem czy dobry dział

[smętek]

W równoległoboku ABCD z wierzchołka kąta rozwartego poprowadzono dwie wysokości
DP i DQ (P Î AB, Q Î BC).
a. Udowodnij, że na czworokącie DPBQ można opisać okrąg.
b. Oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie DPBQ, jeśli podstawy
równoległoboku mają długość 15 i 33, a krótsza wysokość DP jest równa 12.

[panb]

W równoległoboku ABCD z wierzchołka kąta rozwartego poprowadzono dwie wysokości
DP i DQ (\(P \in AB, \,\,Q \in BC\)).
a. Udowodnij, że na czworokącie DPBQ można opisać okrąg.
b. Oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie DPBQ, jeśli podstawy
równoległoboku mają długość 15 i 33, a krótsza wysokość DP jest równa 12.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku: \(180^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha+90^\circ-\alpha+x \So x=\alpha\)

• Twierdzenie
  Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów wewnętrznych
  są równe i wynoszą \(180^\circ\)

\( |\angle BPD|+| \angle BQD|=90^\circ+90^\circ=180\\
| \angle PBQ|+| \angle PDQ|=\alpha+180^\circ-\alpha=180^\circ\)
zatem na czworokącie PBQD można opisać okrąg.

[eresh]

W równoległoboku ABCD z wierzchołka kąta rozwartego poprowadzono dwie wysokości
DP i DQ (P Î AB, Q Î BC).
b. Oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie DPBQ, jeśli podstawy
równoległoboku mają długość 15 i 33, a krótsza wysokość DP jest równa 12.

Przekątna czworokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Promień okręgu opisanego na tym czworokącie będzie równy promieniowi okręgu opisanego na trójkątach DBP i DQB (będzie to połowa DB)
\(|AP|^2+|PD|^2=|AD|^2\\
|AP|^2=15^2-12^2\\
|AP|=9\\
|PB|=33-9=24\\
|PD|^2+|PB|^=|BD|^2\\
12^2+24^2=|BD|^2\\
|DB|=12\sqrt{5}\\
R=6\sqrt{5}\)