rachunek różniczkowy

[MatU3x]

Cześć, rozwiązuję takie zadanie:

Oblicz granicę funkcji f(x) w punkcie x0:
\(f(x)= \frac{ \sqrt{ x^2+2}- \sqrt{2} }{ \sqrt{x^2+9}-3 }, x0=0 \)

Teraz moje obliczenia:
\( \Lim_{x\to0 } \frac{ \sqrt{ x^2+2}- \sqrt{2} }{ \sqrt{x^2+9}-3 } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+9}+3 }{ \sqrt{x^2+9}+3 } \)

W rezultacie w mianowniku wychodzi \(x^2\)
w liczniku:

\( \Lim_{x\to 0}( \sqrt{x^2+2}- \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{x^2+9}+3) \)

Wyciągam x-sy przed pierwiastek

\( \Lim_{x\to 0}(x( \sqrt{1+ \frac{2}{x^2} } )- \sqrt{2} ) \cdot (x( \sqrt{ 1+ \frac{9}{x^2} } )+3) \)

X się zeruje więc zostaję \(-3 \sqrt{2} \)
jako że w mianowniki jest \(x^2\) nie mam pomysłu co z tym zrobić, może gdzieś popełniłem błąd?
Odpowiedź prawidłowa to \( \frac{3 \sqrt{2} }{2} \)
Proszę o pomoc, dziękuję

[panb]

Cześć, rozwiązuję takie zadanie:

Oblicz granicę funkcji f(x) w punkcie x0:
\(f(x)= \frac{ \sqrt{ x^2+2}- \sqrt{2} }{ \sqrt{x^2+9}-3 }, x0=0 \)

\( \Lim_{x\to 0}(x( \sqrt{1+ \frac{2}{x^2} } )- \sqrt{2} ) \cdot (x( \sqrt{ 1+ \frac{9}{x^2} } )+3) \)
jako że w mianowniki jest \(x^2\) nie mam pomysłu co z tym zrobić, może gdzieś popełniłem błąd?

Odpowiedź prawidłowa to \( \frac{3 \sqrt{2} }{2} \)
Proszę o pomoc, dziękuję

Powinno być \( \Lim_{x\to 0}(x( \sqrt{1+ \frac{2}{x^2} } )- \frac{\sqrt{2}}{x} ) \cdot (x( \sqrt{ 1+ \frac{9}{x^2} } )+\frac{3}{x}) \) i szlag trafia całą sztuczkę.
To nie tak. To co zrobiłeś dla wyrugowania mianownika musisz też powtórzyć dla licznika. Czynnik zerujący (\(x^2\)) się skróci i wstawisz zero za x.

[MatU3x]

Dziękuję, teraz rozumiem mój błąd. Niestety jak podstawiłem tak jak pokazałeś, czyli wymnożyły mi się \(x^2\) w liczniku i mianowniku, z dwoch pomnozonych pierwiastkow wyszło mi 1, a nie \( \frac{3 \sqrt{2} }{2} \) Chociaż nie jest pewny czy teraz taki wyraz jak \( \frac{2}{x^2} = 0\)? Bo przecież granica leci do zera (a nie jak w wiekszosci zadan do nieskończoności) więc takie wyrażenie będzie się równało nie 0 a -2, dobrze myślę?

[panb]

Dziękuję, teraz rozumiem mój błąd. Niestety jak podstawiłem tak jak pokazałeś, czyli wymnożyły mi się \(x^2\) w liczniku i mianowniku, z dwoch pomnozonych pierwiastkow wyszło mi 1, a nie \( \frac{3 \sqrt{2} }{2} \) Chociaż nie jest pewny czy teraz taki wyraz jak \( \frac{2}{x^2} = 0\)? Bo przecież granica leci do zera (a nie jak w wiekszosci zadan do nieskończoności) więc takie wyrażenie będzie się równało nie 0 a -2, dobrze myślę?

Musisz zmienić sposób. Nie przeczytałeś mojego posta uważnie.
Usuń niewymierność z mianownika (tak jak to zrobiłeś), a potem z licznika.
W ogóle NICZEGO nie wyłączaj przed nawias.

[panb]

\( \Lim_{x\to 0 } \frac{2}{x^2}=+\infty \), a nie (-2).

[panb]

Cześć, rozwiązuję takie zadanie:

Oblicz granicę funkcji f(x) w punkcie x0:
\(f(x)= \frac{ \sqrt{ x^2+2}- \sqrt{2} }{ \sqrt{x^2+9}-3 }, x0=0 \)

Odpowiedź prawidłowa to \( \frac{3 \sqrt{2} }{2} \)
Proszę o pomoc, dziękuję

Takie coś miałem na myśli!

\( \Lim_{x\to0 } \left( \frac{ \sqrt{ x^2+2}- \sqrt{2} }{ \sqrt{x^2+9}-3 } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+9}+3 }{ \sqrt{x^2+9}+3 } \cdot \frac{\sqrt{ x^2+2}+ \sqrt{2} }{\sqrt{ x^2+2}+ \sqrt{2} }\right) \)

[MatU3x]

Super, dziękuję, już zrozumiałem i rozwiązałem