Optymalizacja podwójny stożek

[mattheoni]

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy L. Jakie długości powinny mieć boki tego trójkąta,
aby objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy była największa?
Czy mógłby ktoś rozwiązać mi to zadanie?

[korki_fizyka]

Zamiast czekać na zmiłowanie przejrzałbyś archiwa
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=24&t=92191
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=24&t=92266
itd.

[Jerry]

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy L. Jakie długości powinny mieć boki tego trójkąta, aby objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wzdłuż podstawy była największa?

Jeżeli \(x\in\left(0;{L\over4}\right)\) będzie połową podstawy trójkąta - wysokością jednego ze stożków, to promieniem wspólnej podstawy stożków będzie \(r=\sqrt{\left({L\over2}-x\right)^2-x^2}\) oraz objętość określona będzie wzorem:
\(y=V(x)={2\pi\over3}\cdot\sqrt{\left({L\over2}-x\right)^2-x^2}^2\cdot x\)
Pozostaje wyznaczyć ekstremum...

Czy mógłby ktoś rozwiązać mi to zadanie?

Na kolosie - też

Pozdrawiam

[janusz55]

W wyniku obrotu trójkąta równoramiennego dookoła podstawy otrzymamy dwa stożki o wspólnej podstawie, stożek górny i stożek dolny.

Objętość \( V \) = objętość stożka górnego + objętość stożka dolnego = \( 2\cdot \) objętość stożka górnego.

Jeśli przez \( x \) oznaczymy długość tworzącej stożka (długość jednego z ramion trójkąta równoramiennego), to długość wysokości stożka jest równa \( h= \frac{L - 2x}{2} = \frac{1}{2}L - x. \)

\( \frac{1}{2}L -x >0 , \ \ x < \frac{1}{2}{L}. \)

Ze wzoru Pitagorasa możemy obliczyć długość promienia stożka

\( r = \sqrt{ x^2 - \left( \frac{1}{2}L - x\right) ^2} = \sqrt{x^2 -\frac{1}{4}L^2+Lx -x^2} = \sqrt{L\left(x -\frac{1}{4}L\right)} \)

\( x - \frac{1}{4}L > 0, \ \ x >\frac{1}{4}L \)

Obętość \( V(x) = 2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \sqrt{\left (L^2(x -\frac{1}{4}L\right)^2}\cdot \left (\frac{1}{2}L - x \right ) = \frac{2}{3}\pi L \left(x -\frac{1}{4}L\right)\cdot \left(\frac{1}{2}L -x\right) \ \ (*)\)

Musimy znaleźć wartość największą funkcji \( (*) \) w przedziale \( \left(\frac{1}{4}L, \ \ \frac{1}{2}L \right).\)

Mnożąc obie strony równania \( (*) \) przez \( \frac{3}{2\pi L} \)

otrzymamy

\( \frac{3V}{2\pi L} = \left(\frac{1}{2}L -x\right) \cdot L \left(x -\frac{1}{4}L\right).\)

Ta suma dwóch czynników jest stała i równa \( \frac{1}{2}{L} - x +x -\frac{1}{4}L = \frac{1}{4}L.\)

Jeśli zażądamy, aby te czynniki były równe, to jedynie wówczas otrzymamy, że ich iloczyn będzie największy, czyli że wyrażenie \( \frac{3V}{2\pi L} \) będzie największe, a oto nam właśnie chodzi.

Spełniając wspomniane żądanie otrzymamy:

\( \frac{1}{2}L - x = x - \frac{1}{4}L \)

\( 2x = \frac{3}{4}L \)

\( x = \frac{3}{8}L \in \left( \frac{1}{4}L, \ \ \frac{1}{2}L \right) \)

Odpowiedź: \( \frac{3}{8}L, \ \ \frac{3}{8}L, \ \ \frac{1}{4}L .\)