Funkcja kwadratowa.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

Udowodnij, że jeśli \(a=-2b=-2c\) to równanie \(ax^2+bx+c=0\) ma dwa rozwiązania.
Ostatnio zmieniony 19 sty 2021, 15:54 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "matematyka" w [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: Jerry »

Dla \(a\ne 0\) mamy
\(\Delta= b^2-4ac=(-{1\over2}a)^2-4a\cdot(-{1\over2}a)=\cdots>0\)

Pozdrawiam
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

A czy nie powinno być delta większa lub równa zero? Przecież mamy mieć dwa rozwiązania czyli dopuszczamy równość.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 19 sty 2021, 16:04 Przecież mamy mieć dwa rozwiązania czyli dopuszczamy równość.
Nie, jeśli \(\Delta=0\), to równanie ma jeden podwójny pierwiastek! Poza ty \(a\ne0\)!

Pozdrawiam
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

To dlaczego przykładowo w takim zadaniu:
Dla jakiego parametru ,,m'' równanie (...) ma takie dwa pierwiastki, że jeden z nich jest kwadratem drugiego.
Dlaczego w tym przypadku deltę zaznaczamy jako większą lub równą zero ?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1422
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: janusz55 »

Jeśli w treściach zadań szkolnych z funkcji kwadratowej nie jest napisane " dwa różne rozwiązania" a tylko "dwa rozwiązania", to przyjmuje się warunek \(\Delta \geq 0 .\)
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

Dziękuję bardzo
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: kerajs »

janusz55 pisze: 19 sty 2021, 18:15 a tylko "dwa rozwiązania", to przyjmuje się warunek \(\Delta \geq 0 .\)
Bzdura do kwadratu.
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

Być może w bardziej zaawansowanej matematyce to jest bzdura aczkolwiek.
Przykładowo jeżeli w zdaniu mówimy o dwóch rozwiązaniach i nie ma użytego słowa różne to musimy uwzględnić że x1 może = x2.
I wtedy mimo że mamy 1 rozwiązanie jako cyfrę , To mamy dwa rozwiązania jako pojęcie.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1422
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 387 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: janusz55 »

To nie jest bzdura, to jest konwencja przyjęta w szkolnych podręcznikach. Patrz np. MATEMATYKA 2 Henryka Pawłowskiego czy Marcin Kurczab , Elżbieta Kurczab, Marcin Świda Matematyka 2 (zakres rozszerzony).
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

Strasznie jako tegoroczny maturzysta ubolewam nad tą konwencją bo jest dla mnie trochę śmieszna, no ale cóż.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: kerajs »

Zanim padła żelazna kurtyna uczono tak:
Jeśli wyróżnik w równaniu kwadratowym był zerowy to równanie miało jedno rozwiązanie, ale dwa równe pierwiastki.
Liczba pierwiastków wynikała bezpośrednio z podstawowego twierdzenia algebry, które wtedy brzmiało: ''wielomian n-tego stopnia ma n pierwiastków'' .
Potem, wykorzystując koniunkturę na drukowanie podręczników, zaczęto zgapiać z ''zachodnich'' książek gdzie pierwiastki utożsamiano z rozwiązaniami, i wtedy pojawiły się pierwiastki wielokrotne. Zaczęto pisać, że zerowy wyróżnik w równaniu kwadratowym to jedno rozwiązanie i pierwiastek podwójny.
Ale że przy zerowym wyróżniku są dwa rozwiązania, to dla mnie nowość i kwadratowa bzdura.
gr4vity
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 17 sty 2021, 18:12
Podziękowania: 196 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: gr4vity »

Właśnie, to działa w ten sposób że zerowy wykładnik oznacza jedno rozwiązanie. Ale wykładnik >=0 oznacza dwa rozwiązania, wykładnik >0 oznacza dwa różne. Tak wygląda to z podręcznika:
\Delta<0 - to równanie nie ma pierwiastków,
\Delta=0 - to równanie ma jeden pierwiastek,
\Delta >= 0 - to równanie ma dwa pierwiastki,
\Delta>0 - to równanie ma dwa różne pierwiastki.
I mimo że są tu pierwiastki to takie same warunki stosujemy jak w zadaniu są rozwiązania.

Zapytam z ciekawości, jaki wyróżnik dałbyś do tego zadania?:
Dla jakich wartości parametru ,,m'' rozwiązania x1,x2 równania ... spełniają warunek x1=x2^2
?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 19 sty 2021, 18:41 Być może w bardziej zaawansowanej matematyce to jest bzdura aczkolwiek.
Odejdźmy od matematyki...
Jeśli ktoś mówi, że ma dwoje dzieci, to zapytasz go, czy są różne? Nie, przyjmujesz, że jest ich dwoje!
Ojciec jedynaka na pytanie czy ma dzieci - odpowie: tak, mam.

Zatem:
\(\Delta\ge0\), jeśli równanie kwadratowe ma
-) rozwiązania,
-) rozwiązania \(x_1,x_2\), bo może być \(x_1=x_2\)
\(\Delta>0\), jeśli równanie kwadratowe ma
-) dwa rozwiązania, dopisanie "różne" jest ukłonem autora w stronę zdającego i kerajs ma rację
gr4vity pisze: 19 sty 2021, 18:41 Przykładowo jeżeli w zdaniu mówimy o dwóch rozwiązaniach i nie ma użytego słowa różne to musimy uwzględnić że x1 może = x2.
I wtedy mimo że mamy 1 rozwiązanie jako cyfrę , To mamy dwa rozwiązania jako pojęcie.
Nie! Mamy jedno rozwiązanie, tylko podwójne!

Wyjątkiem jest np.
Wielomian stopnia \(n\) zmiennej zespolonej ma \(n\) pierwiastków, liczonych z dokładnością do krotności
ale tu nie ma zastosowania

Pozdrawiam
ja i Jerry, czyli... jedna osoba
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Funkcja kwadratowa.

Post autor: Jerry »

gr4vity pisze: 19 sty 2021, 19:31 Zapytam z ciekawości, jaki wyróżnik dałbyś do tego zadania?:
Dla jakich wartości parametru ,,m'' rozwiązania x1,x2 równania ... spełniają warunek x1=x2^2
?
Odpowiedź znajdziesz w moim poprzednim poście... widzę, że za długo go pisałem...

Pozdrawiam
PS. Pora pisać w kodzie!
ODPOWIEDZ