Oblicz zbiór wartości funkcji
\(f(x) = \frac{2^x}{2 ^x-4} \)
Zbiór wartości
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Zbiór wartości
\(2^x-4\neq 0\\2^x\neq4\\x\neq 2\)
\(f(x)=\frac{2^x}{2^x-4}\;\;\;\;\;D=(-\infty;2)\cup (2;+\infty)\\ \Lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\\ \Lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\\ \Lim_{x\to -\infty}f(x)=0^-\\ \Lim_{x\to +\infty}f(x)=1^+\\Zbiór\; wartości \;\;y\in (-\infty;0)\cup (1;+\infty)\)
\(f(x)=\frac{2^x}{2^x-4}\;\;\;\;\;D=(-\infty;2)\cup (2;+\infty)\\ \Lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty\\ \Lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\\ \Lim_{x\to -\infty}f(x)=0^-\\ \Lim_{x\to +\infty}f(x)=1^+\\Zbiór\; wartości \;\;y\in (-\infty;0)\cup (1;+\infty)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1544
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Zbiór wartości
Drugi sposób
\( f(x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 4} \)
\( D =\{ x\in \rr : 2^{x} - 4 \neq 0 \} = \{ x\in \rr: 2^{x} \neq 4 \} = \{ x\in \rr: 2^{x} \neq 2^2\} = \{ x\in \rr: x\neq 2\} \)
Gdy zmienna \( x \) przebiega zbiór \( \rr \setminus \{2\} \), wtedy wartości funkcji tworzą zbiór \( W.\)
Zbiór \( W \) ma tę własność, że dla każdego \( y \in W \) (i tylko takiego \( y \)) istnieją rozwiązania równania
\( y = \frac{2^{x}}{2^{x} - 4} \) z niewiadomą \( x \)
czyli równania
\( y\cdot 2^{x} - 2^{x} = 4y \)
\( 2^{x}( y -1) = 4y \)
\( 2^{x} = \frac{4y}{y-1} \)
\( x \log 2 = \log \left(\frac{4y}{y-1} \right)\)
\( x = \frac{1}{\log 2} \cdot \log \left(\frac{4y}{y-1} \right).\)
\( \frac{4y}{y-1} > 0 \)
\( y \in (-\infty, \ \ 0 ) \cup ( 1, \ \ \infty) \)
Zbiorem wartości funkcji \( f(x) \) jest zbiór
\( W = \{ y \in \rr: y \in (-\infty, \ \ 0 ) \cup ( 1, \ \ \infty) \ \ \text{dla} \ \ x\in D \} \)
\( f(x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 4} \)
\( D =\{ x\in \rr : 2^{x} - 4 \neq 0 \} = \{ x\in \rr: 2^{x} \neq 4 \} = \{ x\in \rr: 2^{x} \neq 2^2\} = \{ x\in \rr: x\neq 2\} \)
Gdy zmienna \( x \) przebiega zbiór \( \rr \setminus \{2\} \), wtedy wartości funkcji tworzą zbiór \( W.\)
Zbiór \( W \) ma tę własność, że dla każdego \( y \in W \) (i tylko takiego \( y \)) istnieją rozwiązania równania
\( y = \frac{2^{x}}{2^{x} - 4} \) z niewiadomą \( x \)
czyli równania
\( y\cdot 2^{x} - 2^{x} = 4y \)
\( 2^{x}( y -1) = 4y \)
\( 2^{x} = \frac{4y}{y-1} \)
\( x \log 2 = \log \left(\frac{4y}{y-1} \right)\)
\( x = \frac{1}{\log 2} \cdot \log \left(\frac{4y}{y-1} \right).\)
\( \frac{4y}{y-1} > 0 \)
\( y \in (-\infty, \ \ 0 ) \cup ( 1, \ \ \infty) \)
Zbiorem wartości funkcji \( f(x) \) jest zbiór
\( W = \{ y \in \rr: y \in (-\infty, \ \ 0 ) \cup ( 1, \ \ \infty) \ \ \text{dla} \ \ x\in D \} \)
